lunes, 21 de noviembre de 2011

Novedades en la página web de la asignatura

En la página web de la asignatura podéis encontrar las soluciones de la relación de problemas del capítulo 1, sobre curvas planas y en el espacio. También hay un fichero pdf con representaciones gráficas de superficies que nos han salido en clase (y algunas más), hechas con Mathematica.

Por otro lado, los días 28 y 29 de noviembre no habrá clase, y tampoco los días 5 y 9 de diciembre. Dos de estas cuatro horas han sido ya recuperadas.

domingo, 20 de noviembre de 2011

Curvatura, coordenadas polares y ecuaciones implícitas

En clase hemos visto cómo calcular la curvatura de una curva plana regular si tenemos una parametrización en coordenadas cartesianas $\alpha (t)=(x(t),y(t))$. En esta entrada tienes las fórmulas necesarias para calcular la curvatura usando coordenadas grafo, polares o cuando sólo disponemos de la ecuación implícita de la curva.

  1. Sea $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ una función diferenciable y $\alpha \colon (a,b)\to \mathbb{R}^2$ la curva dada por $\alpha (t)=(t,f(t))$. Probar que la curvatura de $\alpha $ viene dada por  \[ \kappa =\frac{-f''}{[1+(f')^2]^{3/2}}.\]
  2. Sea $\beta (\theta )=r(\theta )(\cos \theta ,\sin \theta )$ una curva plana escrita en coordenadas polares ($r(\theta )$ es una función $C^{\infty }$ y positiva). Demostrar que la curvatura de $\beta $ es \[ \kappa =\frac{2(r')^2-rr''+r^2}{[r^2+(r')^2]^{3/2}}. \]
  3. Sea $F\colon O\to \mathbb{R}$ una función diferenciable definida en un abierto $O$ de $\mathbb{R}^2$, y $a\in \mathbb{R}$ un valor regular de $F$, es decir, $F^{-1}(\{ a\} )\neq \emptyset $ y $\forall (x,y)\in F^{-1}(\{ a\} )$, $\nabla F(x,y)\neq (0,0)$ ($\nabla F$ denota el gradiente de $F$).  Demostrar que cada componente conexa del conjunto $\{ (x,y)\in O \ | \ F(x,y)=a\} $ es una curva regular, y que su curvatura viene dada por \[ \kappa =\frac{(\nabla ^2F)(\nabla F,\nabla F)}{\| \nabla F\| ^3},\] donde $\nabla ^2F$ es el hessiano de $F$.

lunes, 14 de noviembre de 2011

La desigualdad isopermétrica (II)

En esta entrada veremos la demostración dada por Schmidt en 1939 de la desigualdad isoperimétrica en el plano:
Dado un dominio compacto y regular $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, se tiene:
\[
4\pi \mbox{Area}(\Omega )\leq \mbox{Longitud}(\partial \Omega )^2, \qquad \mbox{"="} \Longleftrightarrow \Omega  \mbox{ es un disco redondo.}
\]
Es de destacar la sencillez de la prueba, que sólo usa geometría elemental, y que no supone existencia de dominios isoperimétricos.

Tenemos un dominio compacto y regular $\Omega \subset \mathbb{R}^2$. Tomamos una dirección $v\in \mathbb{R}^2-\{ 0\} $.

Prueba que existen rectas $L,L'$ paralelas a $v$ que son tangentes a $\partial \Omega $ y tales que $\Omega $ está contenido en la banda cerrada con borde $L\cup L'$.

Llamamos $2r>0$ a la distancia de $L$ a $L'$. Ahora consideramos una circunferencia $S^1$ de radio $r$ que sea tangente a $L$ y a $L$. Tomamos coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^2$ de forma que el centro de $S^1$ es $(0,0)$ y las rectas $L,L'$ vienen dadas por
\[
L=\{ x=r\} ,\qquad L'=\{ x=-r\} .
\]
Respecto de estas coordenadas, podemos parametrizar $\partial \Omega $ por el arco mediante
$\alpha (s)=(x(s),y(s))$, $s\in [0,B]$, de forma que $\alpha (0)=\alpha (B)\in L$, donde $B=\mbox{Longitud}(\partial \Omega )$. Así existirá $s_1\in (0,B)$ tal que $\alpha (s_1)\in L'$ (posiblemente $s_1$ no es único), como en la siguiente figura:

Demuestra que existe una función $\overline{y}\colon [0,B]\to R $ de clase $C^1$ tal que $\overline{\alpha }(s)=(x(s),\overline{y}(s))$ parametriza la circunferencia $S^1$.
De esta forma, en cada instante $s$, los puntos $\alpha (s)$ y $\overline{\alpha }(s)$ están sobre la misma recta vertical, como en la figura de arriba.

En esta entrada del blog vimos cómo calcular el área de los recintos encerrados por $\alpha $ y $\overline{\alpha }$:
\[
\mbox{Area}(\Omega )=\int _0^Bx(s)y'(s)\, ds, \qquad \pi r^2=-\int _0^B\overline{y}(s)x'(s)\, ds, 
\]
luego
\[
\mbox{(a)}\hspace{2cm}
\mbox{Area}(\Omega )+\pi r^2=\int _0^B(xy'-\overline{y}x')ds\leq \int _0^B\sqrt{(xy'-\overline{y}x')^2}ds
\]
Usa la desigualdad de Schwarz para probar que $\forall s\in [0,B]$,
\[
\left[ x(s)y'(s)-\overline{y}(s)x'(s)\right] ^2\leq \left[ x(s)^2+(\overline{y}(s))^2\right] \left[ (y'(s)^2+x'(s)^2\right] . \] Deduce que \[
\left[ xy'(s)-\overline{y}x'\right] ^2\leq r^2\qquad \mbox{ en }\ [0,B].
\]
Usando el ejercicio anterior en (a), tenemos
\[
\mbox{(b)}\hspace{2cm}\mbox{Area}(\Omega )+\pi r^2\leq \int _0^Br\, ds=rB.
\]
Por otro lado, la relación entre la media geométrica y la media aritmética de números positivos implica que
\[
\mbox{(c)}\hspace{2cm}\sqrt{\mbox{Area}(\Omega )\cdot \pi r^2}\leq \frac{1}{2}\left( \mbox{Area}(\Omega )
+\pi r^2\right) ^2.
\]
De (b) y (c) deducimos que
\[
\mbox{Area}(\Omega )\cdot \pi r^2\leq  \frac{1}{4}r^2B^2,
\]
que es la desigualdad isoperimétrica.
Supongamos ahora que se da la igualdad en la desigualdad isopermétrica. Entonces tiene que darse la igualdad en cada desigualdad del desarrollo anterior. En particular:
  1. La igualdad en (c) implica que $\mbox{Area}(\Omega )=\pi r^2$. De aquí deducimos que $r$ no depende de la dirección $v$ que tomamos al principio.
  2. La igualdad en  (b) implica que se da la igualdad en la desigualdad de Schwarz (último ejercicio). Por tanto, existe $\lambda =\lambda (s)$ tal que $(x,\overline{y})=\lambda (y',x')$.
    Deduce que $\lambda $ es constante $\pm r$.
Acabamos de probar que $y'=\pm \frac{1}{r}x$. Como $r$ no depende de la dirección $v$, podemos intercambiar los papeles de $x,y$ con lo que obtendremos análogamente $x'=\pm \frac{1}{r}y$. Por tanto,
\[
x^2+y^2=r^2[ (y')^2+(x')^2]=r^2,
\]
De donde deducimos que $\Omega $ es un disco de radio $r$.

domingo, 6 de noviembre de 2011

La desigualdad isoperimétrica (I)


En una entrada anterior vimos cómo calcular el área del recinto encerrado por una curva cerrada simple $\alpha $. Teníamos entonces dos números asociados a $\Omega $: su área $A$ y su perímetro $L=\mbox{Longitud}(\partial \Omega )$. ¿Qué relación hay entre ambos?

Está claro que si tomamos una cuerda con los extremos unidos y la disponemos sobre el suelo como una curva cerrada simple, entonces podemos modificar el área del recinto encerrado desde 0 hasta cierto valor positivo, pero su perímetro será siempre la longitud de la cuerda con la que empezamos. Intuitivamente, la forma del recinto que tiene mayor área es circular. Este hecho tan intuitivo constituye quizás el teorema global más antiguo en Geometría Diferencial, y se llama la  desigualdad isoperimétrica, que busca la respuesta a cualquiera de las dos siguientes preguntas (equivalentes):
  1. De todos los recintos planos con perímetro dado, ¿cuál tiene mayor área?
  2. De todos los recintos planos con área prefijada, ¿cuál tiene menor perímetro?

Ya los griegos sabían que el círculo es la mejor respuesta posible. Sin embargo, no pudieron dar una demostración rigurosa de esta propiedad tan aparentemente obvia. Y es que después de todo, no es tan obvia: tuvimos que esperar hasta el siglo XIX para tener la primera prueba rigurosa, y a partir de entonces se han encontrado demostraciones muy diferentes, algunas sorprendentemente simples, de la desigualdad isoperimétrica:

Dado un dominio compacto y regular $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, su área $A$ y su perímetro $L$ cumplen
\[
4\pi A\leq L^2, \qquad \mbox{"="} \Longleftrightarrow \Omega  \mbox{ es un disco redondo.}
\]

Uno de los problemas que tenían las primeras demostraciones de la desigualdad isoperimétrica es que suponían que existe solución al llamado problema isoperimétrico:

Dado $A > 0$, ¿existe un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ con área $A$, que tiene el menor perímetro de entre todos los recintos de $\mathbb{R}^2$ con área $A$? (a un dominio $\Omega $ con esta propiedad se le llama dominio isoperimétrico).

Demuestra que si existe un dominio isoperimétrico para un valor $A > 0$ del área, entonces existen dominios isoperimétricos para todos los valores del área, y que los dominios isoperimétricos son aquellos que minimizan el siguiente cociente:
\[
\frac{\mbox{Longitud}(\partial \Omega )^2}{\mbox{Area}(\Omega )}
\]
Dar una demostración de la existencia de un dominio isoperimétrico no es fácil. En 1870, el matemático alemán Karl Weierstrass señaló que hay muchos problemas similares al anterior y que no admiten solución, y además dió la primera prueba rigurosa (y nada trivial) de la desigualdad isoperimétrica.

En esta entrada veremos un argumento para probar que si el problema isoperimétrico tiene solución suficientemente regular, entonces ésta es un círculo.

Asumimos que existe un dominio isoperimétrico, $\Omega $, cuya frontera puede parametrizarse por una curva de clase $C^2$. No perdemos generalidad parametrizando $\partial \Omega $ por el arco, $\alpha \colon [0,L]\to \mathbb{R}^2$, donde $L=$ longitud$(\alpha )$. Sea $\{ T,N\} $ el diedro de Frenet asociado a $\alpha $. Lo primero que haremos es definir una variación de $\Omega $ normal a su borde. Fijemos una función $f\colon [0,L]\to \mathbb{R}$ de clase $C^1$, tal que $f(0)=f(L)$, $f'(0)=f'(L)$, y consideremos para cada $s\in \mathbb{R}$ la curva \[ \alpha _s\colon [0,L]\to \mathbb{R},\quad \alpha _s(t)=\alpha (t)+sf(t)N(t).\]
Probar que existe $\varepsilon >0$ tal que $\forall s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$, $\alpha _s$ es una curva ($C^1$) regular, cerrada y simple. (Para esto último usar el teorema del valor medio sobre las componentes de $\alpha _s$). Por el teorema de la curva de Jordan, $\alpha _s$ encierra un dominio interior $\Omega _s$ $\forall s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.

Sean $L,A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to \mathbb{R}$ las funciones dadas por
\[ L(s)=\mbox{Longitud}(\alpha _s)=\int _0^L\| \alpha _s'(t)\| \, dt,\qquad
A(s)=\mbox{Area}(\Omega _s)=\frac{1}{2}\int _0^L\det (\alpha _s(t),\alpha '_s(t))\, dt,\]
donde $'$ denota derivada respecto a $t$.
Demostrar que $L,A$ son de clase $C^1$ y que sus derivadas en $s=0$ son \[ \frac{dL}{ds}(0)=-\int _0^Lf(t)\kappa (t)\, dt,\qquad \frac{dA}{ds}(0)=-\int _0^Lf(t)\, dt, \] donde $\kappa $ es la curvatura de $\alpha $.
(Indicación: para calcular $\frac{dA}{ds}(0)$, integrar por partes $f\det(\alpha ,N)$).

Usar que $\Omega $ es un dominio isoperimétrico para deducir que la función $s\mapsto \frac{L(s)^2}{A(s)}$ tiene un punto crítico en $s=0$. Probar que si $\int _0^Lf=0$, entonces $\int _0^Lf\kappa =0$.

Lo anterior nos dice que la función curvatura $\kappa \in L^2(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})$ es $L^2$-ortogonal al subespacio de $L^2(\mathbb{R}/L\mathbb{Z})$
\[
\mathcal{U}=\left\{ f\in C^1[0,L]\ | \ f(0)=f(L), f'(0)=f'(L), \int _0^Lf=0\right\} .
\]
Por otro lado, un resultado de Análisis nos dice que $\mathcal{U}$ es el subespacio $L^2$-ortogonal al subespacio 1-dimensional de las funciones constantes, luego $\kappa $ es constante. Esto nos dice que $\partial \Omega $ es una circunferencia y $\Omega $ es un disco redondo. A partir de aquí, demuestra la desigualdad isoperimétrica de arriba.

En la demostración anterior se ha supuesto que la frontera de un dominio isoperimétrico $\Omega $ es de clase $C^2$. Sin embargo, para que la longitud de $\partial \Omega $ tenga sentido, sólo deberíamos suponer que $\partial \Omega $ es $C^1$ a trozos.En el siguiente argumento se probará que esta frontera es siempre de clase $C^1$ (la regularidad $C^2$ es también cierta, pero su demostración es más difícil).

Supongamos entonces que $\Omega $ es un dominio isoperimétrico con frontera de clase $C^1$ a trozos (no podemos deducir del argumento de arriba que $\Omega $ sea un disco redondo). Razonaremos por reducción al absurdo, suponiendo que $\partial \Omega $ tiene un "pico" en un punto $p\in \partial \Omega $.  La idea para llegar a una contradicción es producir un dominio $\Omega _1$ que sea mejor que $\Omega $ respecto al problema isopermétrico, es decir, tal que
\[
\frac{\mbox{Longitud}(\partial \Omega _1)^2}{\mbox{Area}(\Omega _1)} <
\frac{\mbox{Longitud}(\partial \Omega )^2}{\mbox{Area}(\Omega )} .
\]
El dominio $\Omega _1$ se producirá cambiando $\Omega $ en un entorno muy perqueño $U$ de $p$; como $\partial \Omega $ es $C^1$ a trozos, podemos suponer que en $U\cap \partial \Omega $ es arbitrariamente próximo a dos segmentos rectilíneos $r_1,r_2$ que se cortan en $p_0$ con cierto ángulo positivo. Distingue 2 casos:
  1. Si el ángulo que $\partial \Omega $ forma en $p$ es mayor de 180º, agranda $\Omega $ añadiendo un triángulo isósceles que tiene a $p$ por uno de sus vértices y con dos lados sobre $r_1,r_2$ (observa que así aumentamos el área y disminuímos el perímetro). 
  2. Si el ángulo que $\Omega $ forma en $p$ es menor de 180º, achica $\Omega $ eliminando un triángulo isósceles como el anterior, definiendo un nuevo dominio $\Omega (l)$ donde $l$ es la longitud de los lados sobre $r_1,r_2$ del triángulo isósceles que estamos eliminando. Estudia la función  \[  f(l)=\frac{\mbox{Longitud}(\partial \Omega (l))^2}{\mbox{Area}(\Omega (l))} \]  y prueba que $f'(0)<0$, lo que contradice que $\Omega $ sea isoperimétrico.

domingo, 30 de octubre de 2011

Area del recinto encerrado por una curva cerrada simple plana

Dentro de las curvas planas tenemos unas especialmente sencillas: son las curvas cerradas simples. Intuitivamente, éstas son las curvas que encierran recintos del plano (con borde $C^{\infty }$): Una curva $\alpha \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2$ se dice cerrada si $\alpha (a)=\alpha (b)$ y $\alpha ^{(k)}(a)=\alpha ^{(k)}(b)$ para todo $k\in \mathbb{N}$ (todas las derivadas coinciden). Un resultado topológico, el teorema de la curva de Jordan, asegura que toda curva cerrada simple plana divide a $\mathbb{R}^2$ en dos recintos, uno acotado (el dominio interior, al que denotaremos por $\Omega $) y otro no acotado (su complementario). Tenemos entonces dos cantidades ligadas a $\alpha $: su longitud $L=\int _a^b\| \alpha '(t)\| \, dt$, y el área $A(\Omega )$ del dominio interior encerrado por $\alpha $.

Dedicaremos esta entrada a dar la siguiente fórmula para calcular esta área, y dejaremos la relación básica entre área y longitud (o perímetro) para una entrada posterior: si escribimos $\alpha (t)=(x(t),y(t))$ y orientamos $\alpha $ de forma que el dominio interior siempre queda a la izquierda de la curva, entonces el área del dominio interior se calcula así:
\[
A(\Omega )\stackrel{(a)}{=}-\int _a^by(t)x'(t)\, dt\stackrel{(b)}{=}\int _a^bx(t)y'(t)\, dt
\stackrel{(c)}{=}\frac{1}{2}\int _a^b(xy'-yx')\, dt.
\]
De hecho, la fórmula anterior es válida aunque $\alpha $ no sea $C^{\infty }$: basta que sea $C^1$ a trozos.
  1. Usa la regla de Barrow para probar que la igualdad en (b) es cierta.
  2. Deduce (c) de la igualdad en (b).
  3. Prueba (a) en el siguiente caso particular: El recinto $\Omega $ está delimitado por dos segmentos verticales y dos grafos de funciones $f,h\colon [x_0,x_1]\to \mathbb{R} $, siendo $f < h$, como en la siguiente figura:
En la figura anterior, hemos marcado los cuatro vértices del recinto de forma que uno es $\alpha (a)=\alpha (b)$, luego $\alpha $ recorre el grafo de $h$ hasta llegar a $\alpha (t_1)$; entre $\alpha (t_1)$ y $\alpha(t_2)$ recorremos un segmento vertical, para luego recorrer el grafo de $f$, y terminar con otro segmento vertical desde $\alpha (t_3)$ hasta $\alpha (b)$.

Para probar el caso general de la fórmula (a), supondremos que existe una dirección en $\mathbb{R}^2$  de forma que la curva $\alpha $ sólo es tangente a un número finito de rectas en esa dirección, como en la siguiente figura:

Admitiendo lo anterior, prueba la igualdad (a).

Hay una forma más directa de demostrar la fórmula de $A(\Omega )$, pero necesita la llamada fórmula de Green (o el teorema de la divergencia, o el teorema de Stokes). La fórmula de Green nos dice que si $p(x,y),q(x,y)$ son funciones $C^1$ definidas en un abierto que contiene a $\Omega $, entonces
\[
\int _{\Omega }\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y} \right) dxdy=\int _a^b\left[ p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t),y(t))y'(t)\right] dt.
\]
Prueba la fórmula $2A(\Omega )=\int _a^b(xy'-yx')\, dt$ usando la fórmula de Green. Esta fórmula de Green se verá como corolario del Teorema de Stokes, en la asignatura Geometría y Topología de 4º curso, aunque puede que ya os haya aparecido en otra asignatura.


jueves, 27 de octubre de 2011

La cisoide de Diocles, la duplicación del cubo y el problema de Delian

A veces, una curva "clásica" lleva detrás una historia curiosa. Un buen ejemplo de esto es la cisoide de Diocles, una curva plana que se define de la siguiente forma:
Supongamos que tenemos una circunferencia $\mathbb{S}^1(C,a)$ de centro $C=(a,0)$ y radio $a>0$ en $\mathbb{R}^2$. Dado $\theta \in (-\pi/2,\pi /2)$, el rayo $R_{\theta }=\{ re^{i\theta }\ | \ r>0\} $ que parte del origen $O=(0,0)$ con ángulo polar $\theta $, corta a $\mathbb{S}^1(C,a)$ en un punto $M_1$ y a la recta $L=\{ x=2a\} $ en otro punto $M_2$. La cisoide de Diocles es la curva plana $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)\to  M (\theta )\in \mathbb{R}^2$ definida por la condición
\[
\| OM\| =\| M_1M_2\|.
\]
(en rojo en la siguiente figura)

  1. Prueba que en coordenadas polares, $M(\theta )$ viene dada por \[ M(\theta )=2a\, \sin \theta \tan \theta ^\, e^{i\theta }, \quad \theta \in (-\pi /2,\pi /2). \] ¿Es la cisoide una curva regular?
  2. Tras hacer el cambio de variable $t=\tan (\theta )$, demuestra que obtenemos la reparametrización \[ \alpha (t)=\left( \frac{2at^2}{1+t^2},\frac{2at^3}{1+t^2}\right),\quad t\in \mathbb{R}. \]
  3. Llamando $(x,y)$ a las coordenadas cartesianas de $\mathbb{R}^2$, prueba que la ecuación en implícitas de la cisoide de Diocles es \[ (x^2+y^2)x-2ay^2=0.\]  Por lo tanto, la cisoide es el conjunto de ceros del polinomio de orden tres $p(x,y)=(x^2+y^2)x-2ay^2$, es decir, es una curva algebraica de grado tres, o cúbica (recuerda que las cónicas en el plano viene dadas por ecuaciones de segundo grado en dos variables).
Y ahora, la historia 'curiosa' de la cisoide de Diocles: Según el historiador griego Plutarco, los habitantes de la ciudad griega de Atenas sufríeron una epidemia de peste allá por el 429 a.C. Como adoraban al dios Apolo y éste era patrón de la ciudad de Delfos, algunos atenienses fueron a Delfos a consultar a un oráculo de este dios griego sobre cómo podrían detener la epidemia. El oráculo les respondió que debían sustituir el altar a Apolo por otro del doble de volumen (desde luego, una respuesta de dudosa utilidad). El altar era cúbico, y los griegos eran muy aficionados a la geometría. Así que se planteó el dilema de cómo calcular el lado $u>0$ de un cubo de volumen doble de otro cubo dado, de lado $a>0$. Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Evidentemente, la ecuación a resolver era
\[

u^3=2a^3
\]
siendo $a$ conocido y $u$ incógnita. Nosotros sabemos despejar $u$ en esa ecuación, pero lo que los griegos querían no era despejarla sino construir el nuevo altar. Así que, sin saberlo, buscaban un método para construir $\sqrt[3]{2}$, sólo usando regla y compás. Desafortunadamente, este número irracional no es construíble con regla y compás, como demostró Pierre Wantzel ( ¡ en 1837 ! ), pero esto no lo sabían los griegos, por supuesto. Así que empezaron a investigar sobre el tema.

El primer avance significativo sobre este problema lo hizo el geómetra griego  Hipócrates de Quíos, que lo redujo al llamado problema de Delian: dados $a,b>0$, supongamos que podemos construir $u,v>0$ tales que
\[\mbox{(1)}\qquad \frac{u}{a}=\frac{v}{u}=\frac{b}{v}.
\]
Hipócrates de Quios se dio cuenta de si suponemos $u,v$ construídos cumpliendo (1), entonces
\[
u^3=a^3\left( \frac{u}{a}\right) ^3=a^3\frac{u}{a}\frac{v}{u}\frac{b}{v}
=a^3\frac{b}{a}=a^2b.
\]
Luego tomando $b=2a$ tendremos $u^3=2a^3$, y ya está nuestro cubo duplicado. Desde luego, no parece que hayamos avanzado mucho en nuestro intento de duplicar el cubo: ahora debemos resolver el problema de Delian dados $a,b$, pero... ¿cómo?


El geómetra (también griego, cómo no) Diocles estudió la cisoide en el siglo II a.C. (no sabemos si la descubrió él, pero lleva su nombre desde entonces) y la usó para resolver el problema de Delian y por tanto la duplicación del cubo. Es decir, si tenemos ya construída la cisoide, entonces Diocles dio un proceso basado en regla y compás para resolver el problema de Delian (por supuesto, de aquí podemos deducir que la cisoide no es construíble con regla y compás, o al menos no es posible construir todos sus puntos, porque cualquier cantidad finita de ellos sí que puede construírse por el procedimiento de arriba).

Veamos el método, muy ingenioso, dado por Diocles: Nos dan $a,b>0$, y queremos construir $u,v>0$ cumpliendo (1). Basta construir sólo $u>0$ tal que
\[
 \mbox{(2)}\qquad u^3=a^2b,
\]
porque definiendo $v=\frac{u^2}{a}$ (recordemos que el producto y cociente de números construíbles con regla y compás sigue siendo construíble) tendremos también construído $v$, y es fácil probar que estos $u,v$ resuelven el problema de Delian para $a,b$.

Así que nos toca construír $u>0$ tal que (2) se cumple, dados $a,b$. Para ello, Diocles partió de una cisoide como la que aparece arriba de la página. Llamamos $C=(a,0)$ al centro de la circunferencia de la figura de arriba, y $L_C=\{ x=a\} $ a la recta vertical que pasa por $C$. Llevamos la distancia $b$ sobre esta recta $L_C$, empezando en $C$ y en sentido ascendente. De esta forma producimos un punto $B=(a,b)$. Unimos $B$ con $A=(2a,0)$ y llamamos $P=(x,y)$ al punto de corte del segmento $AB$ con la cisoide. Ahora trazamos el segmento $OP$, que cortará a $L_C$ en un punto $U=(a,u)$ para cierto $u>0$.Y éste es el $u$ que buscamos: como los triángulos $OCU$ y $OP_0P$ son semejantes, el teorema de Thales (¡ otro griego !) nos dice que
\[
 \mbox{(3)}\qquad
\frac{u}{a}=\frac{\| CU\| }{\| OC\| }=\frac{\| P_0P\| }{\| OP_0\| }=\frac{y}{x}.
\]
Análogamente, la semejanza de los triángulos $APP_0$ y $ABC$ nos lleva a que
\[
 \mbox{(4)}\qquad
\frac{y}{2a-x}=\frac{\| PP_0\| }{\| P_0A\| }=\frac{\| BC\| }{\| CA\| }=\frac{b}{a}.
\]
Por tanto,
\[
\frac{u^3}{a^3}\stackrel{(3)}{=}\frac{y^3}{x^3}=y^2\frac{y}{x^3}\stackrel{(\star )}{=}\frac{x^3}{2a-x}
\frac{y}{x^3}=\frac{y}{2a-x}\stackrel{(4)}{=}\frac{b}{a},
\]
donde en ($\star $) hemos usado la ecuación en implícitas de la cisoide. De lo anterior deducimos que $u^3=a^2b$ como queríamos.

Para saber más sobre la cisoide de Diocles, puedes leer esto.

PD: Al escribir esta entrada se me viene a la cabeza que estos días estamos inundados por noticias sobre la posible condonación de parte de la deuda griega para con la Unión Europea; y digo yo, podríamos acordarnos un poco de todo lo que nos han dado los griegos en Ciencia, Filosofía y Arte a lo largo de su historia, a la hora de discutir sobre la conveniencia o no de ese perdón parcial de la deuda contraída... (sí, ya sé que el mundo real no se rige por estas consideraciones).

lunes, 24 de octubre de 2011

La ecuaciones de Frenet (y Serret)

Hemos visto en clase las ecuaciones de Frenet para una curva en el espacio. Este sistema lineal de 3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vectoriales con 3 incógnitas vectoriales (9 ecuaciones y 9 incógnitas escalares) fue descubierto por el matemático francés Jean Frédéric Frenet en su tesis doctoral, hacia 1847. De forma independiente, otro matemático francés, Joseph Alfred Serret, obtuvo las mismas ecuaciones en 1851. La ecuaciones de Frenet no sólo describen la variación del triedro asociado a una curva p.p.a., sino que también son la base de que la curvatura y la torsión determinen esencialmente a la curva, gracias a los teoremas clásicos de existencia y unicidad de problemas de valores iniciales asociados a un sistema de EDO.

Usa el desarrollo en serie de Taylor para probar que si $\alpha :I\to \mathbb{R}^3$ es una curva p.p.a. definida en un intervalo abierto que contiene a cero, entonces para $t$ suficientemente próximo a cero se tiene
\[
\alpha (t)=\alpha (0)+t\left( 1-\frac{\kappa(0)^2t^2}{6}\right) T(0)+t^2\left( \frac{\kappa(0)}{2}+\frac{\kappa'(0)t}{6}\right) N(0)-\frac{\kappa(0)\tau (0)t^3}{6}B(0)+\mathcal{O}(t^4),
\]
donde $\kappa, \tau $ son la curvatura y torsión de $\alpha $, $\{ T,N,B\} $ es su triedro de Frenet, y
$t\in I\mapsto \mathcal{O}(t^4)\in \mathbb{R}^3$ es una aplicación tal que
\[
\lim _{t\to 0}\frac{O(t^4)}{t^3}=0.
\]

sábado, 22 de octubre de 2011

Algo más sobre la evoluta

En clase definimos la evoluta $e\colon I\to \mathbb{R}^2$ de una curva $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ p.p.a. y con curvatura positiva, y vimos que las dos propiedades siguientes se cumplen:
  1. El vector tangente a la evoluta se anula exactamente en los puntos críticos de la curvatura de $\alpha $, es decir, en los vértices de $\alpha $ (ver esta entrada sobre vértices de una curva). Por ejemplo, la evoluta de una elipse deja de ser regular en 4 puntos.
  2. La dirección de la recta tangente a la evoluta coincide con la dirección de la recta normal a la curva original. 
La propiedad 2 anterior se puede llevar un paso más allá: prueba que la recta afín tangente a la evoluta coincide con la recta afín normal a la curva original.

Prueba que la evoluta de la elipse $\alpha \colon [0,2\pi )\to \mathbb{R}^2$, $\alpha (t)=(a\, \cos t,b\, \sin t)$, viene dada por
\[
e(t)=\left( \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t, \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t\right) ,\quad t\in [0,2\pi ).
\]

Esta última curva se llama la astroide, y es otro ejemplo de curva algebraica clásica; está relacionada con la cardioide, con quien comparte algunos aspectos de su proceso de generación a partir de un círculo que gira sobre otro. Para más información sobre la astroide, lee esto.

Para terminar con la evoluta, hablaremos un poco sobre su proceso 'inverso': Si $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ es una curva p.p.a. y $t_0\in I$, entonces la involuta de $\alpha $ respecto a $t_0$ es la curva $\beta \colon I\to \mathbb{R}^2$ dada por
\[
\beta(t)=\alpha (t)+(t_0-t)\alpha '(t),\quad t\in I.
\]
Prueba que $\beta $ es una curva diferenciable, pero no es regular (su regularidad falla en $t=t_0$ y en los puntos donde la curvatura de $\alpha $ se anula). Suponiendo que las curvaturas de $\alpha $ y $\beta $ son estrictamente positivas, prueba que la evoluta de $\beta $ es la curva $\alpha $. En este sentido, la evoluta y la involuta son procesos inversos.

viernes, 21 de octubre de 2011

La cardioide

La cardioide es la curva plana que se obtiene mediante la trayectoria que describe un punto $\alpha (t)$ sobre una circunferencia que está rodando sin deslizarse de forma tangente sobre el exterior de una segunda circunferencia del mismo radio, siendo esta última fija. El nombre le viene de la forma de corazón que tiene la curva.
Sigue las instrucciones a continuación para describir una parametrización de la cardioide:
  1. Salvo aplicar una homotecia y una tralsación, podemos suponer que ambas circunferencias son de radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos $C(t)=2e^{it}$ al centro de la circunferencia que está rodando y $Q(t)=e^{it}$ al punto de tangencia entre ambas circunferencias, $t\in [0,2\pi )$. Prueba que la longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto $Q(t)$ hasta $\alpha (t)$, es $t$.
  2. Deduce quel apartado 1 que el punto $\alpha (t)$ se obtiene aplicando un giro de ángulo $t$ al vector $Q(t)-C(t)$. Deduce de aquí que $\alpha (t)=2e^{it}-e^{2it}$, $t\in [0,2\pi )$.
  3. Demuestra que la longitud total de la cardioide es 16.
  4. ¿Es la cardioide una curva regular?
La cardioide es una de muchas curvas planas que fueron descubiertas y estudiadas en el siglo XVIII. Puedes leer más curiosidades sobre la misma aquí.



miércoles, 19 de octubre de 2011

La elipse y sus vértices

Calcula la curvatura de una elipse de semiejes $a,b>0$ ($a\neq b$). Prueba que los puntos críticos de su curvatura son exactamente los puntos de intersección de la elipse con sus semiejes, más exactamente: los dos máximos de la curvatura son los puntos donde la elipse pasa por su eje mayor, mientras que los dos mínimos son los puntos de intersección de la elipse con su eje menor.

En general, los puntos críticos de la curvatura de una curva plana se llaman los vértices de la curva. Hay un resultado global de curvas planas, llamado el teorema de los cuartro vértices, que afirma que toda curva plana, regular, cerrada y simple (es decir, sin autointersecciones) tiene, por lo menos, 4 vértices, de los que al menos dos son máximos locales y otros dos son mínimos locales. Puedes leer algo más sobre este resultado en
http://en.wikipedia.org/wiki/Four-vertex_theorem

viernes, 30 de septiembre de 2011

¿Qué es la curvatura de una trayectoria?

Mientras que en sus orígenes, las matemáticas sirvieron para algo tan mundano como contar (aritmética), la belleza que han adquirido con el paso de los siglos estriba en su capacidad para expresar la naturaleza: a menudo nos llama la atención la forma de las cosas, sus simetrías, los distintos patrones en su coloración, o cómo evolucionan ciertos fenómenos que dependen del tiempo. Es inherente al ser humano entender qué leyes rigen estos fenómenos, y ésa es la utilidad y la belleza de las matemáticas. El problema es que para intentar entender un fenómeno de la naturaleza, lo primero que debemos hacer es modelarlo en un concepto matemático, sobre el que podamos aplicar la lógica y a posteriori, deducir propiedades del sistema que pretendemos estudiar. Pongamos un ejemplo para ilustrar esto.

Todos tenemos una idea más o menos intuitiva de cuándo una trayectoria se está curvando, o de que una trayectoria se curva más que otra. Pero ¿cómo podríamos justificar una definición rigurosa de curvatura? Veremos la respuesta en clase, pero por ahora quizás sea bueno plantearse algunas preguntas sencillas (analízalas y justifica tus respuestas):
  1. ¿Qué curvatura debería tener una línea recta?  ¿Y una circunferencia?
  2. ¿Puede variar la curvatura de una trayectoria si nos movemos sobre la misma?
  3. Si una trayectoria se obtiene a partir de otra aplicando un movimiento rígido, ¿qué relación deberían tener sus curvaturas?
  4. ¿A qué trayectorias deberíamos asociarles curvatura idénticamente cero? ¿Y qué trayectorias deberían tener curvatura constante no cero?
  5. Si pensamos en describir una curva en una carretera, podemos hablar de "curva a izquierda" y "curva a la derecha". ¿Cómo podríamos reflejar esto en el concepto de curvatura?
Según lo anterior, podríamos pensar en un primer momento que la curvatura debería medir "el cambio de dirección" de la trayectoria. Y es así, pero es más sutil: Sigamos con el símil anterior de las curvas en una carretera. Imagina dos curvas a izquierda que unen tramos rectos y paralelos de la carretera, pero que una de ellas es más cerrada que la otra:
 En cada una de las dos curvas de la figura anterior, el cambio de dirección total es de 180º. Sin embargo, ¿deberían tener estas dos curvas de la carretera la misma curvatura? Claramente, no. De aquí deducimos que la curvatura no sólo debe medir la variación de la dirección en la que se mueve la trayectoria, sino que tiene que tener en cuenta el tiempo que se tarda en cambiar esta dirección. 

Hay muchas curvas en el plano y en el espacio de una gran belleza. Describirlas con palabras es demasiado complicado, por lo que los matemáticos han desarrollado un lenguaje para ello. Lo más común es describirlas mediante una parametrización (como la trayectoria de una partícula que se mueve con el tiempo). Aquí entran cuestiones formales como qué coordenadas usar (cartesianas, polares, etc). Es posible, también, describir completamente una trayectoria (salvo movimientos rígidos) diciendo cómo se curva en cada instante. Esta propiedad puede parecer en principio sorprendente, y de hecho no es cierta en dimensiones superiores.

jueves, 29 de septiembre de 2011

Primera semana de clase

Esta primera semana ha sido una primera toma de contacto, y en ella hemos repasado algunos conceptos básicos de continuidad, diferenciabilidad, producto escalar, determinante y producto vectorial. Por ejemplo, vimos cómo estos tres últimos objetos pueden derivarse, esencialmente siguiendo la regla del producto a la que estamos acostumbrados. Con esto dimos por terminada la parte previa a la asignatura.

La semana que viene empezaremos el temario propiamente dicho, sobre Geometría Diferencial. Como puede leerse en la Wikipedia, éste es el estudio de la Geometría usando las herramientas del Análisis Matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (cuyos ejemplos más sencillos son las curvas y superficies en el espacio tridimensional, que serán tratados en este curso). El concepto estrella a estudiar es la noción de curvatura, que en cierto modo puede verse como una derivada de orden 2 de la posición. Es por ello que el Análisis Matemático jugará un papel fundamental en lo que sigue.

En el Capítulo 1 estudiaremos las curvas en el plano y en el espacio, modelos matemáticos para la trayectoria de una partícula en movimiento. El concepto de curvatura en este caso está muy relacionado con el de aceleración, o equivalentemente con la variación primera del vector tangente a la trayectoria. Es conveniente que descarguéis los apuntes de la teoría de este capítulo, de la página web de la asignatura.

MathJax ya funciona

Buscando por ahí he encontrado un script que permite usar LaTex en blogger vía MathJax. Ahora podemos escribir cosas como
\[
f\colon E\to \mathbb{S}^2, \quad f(x,y,z)=\left( \frac{x}{a}, \frac{y}{b},\frac{z}{c}\right) ,
\]
y todo queda más claro ¿no?
Esto es en parte gracias a Jesús Antonio, que sacó el tema.

martes, 27 de septiembre de 2011

Prácticas de ordenador y alumnos repetidores

Siguiendo el mismo criterio del curso pasado, aquellos repetidores que en el curso 2010-2011
sacaran un 1 en prácticas de ordenador de Curvas y Superficies conservarán esa nota en las prácticas de ordenador para este curso.

lunes, 26 de septiembre de 2011

Homeomorfismo entre un elipsoide y una esfera

En clase vimos cómo construir un homeomorfismo f del elipsoide E de ecuación (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 en la esfera unidad S. Este homeomorfismo se basaba en proyectar "centralmente" (desde el origen) los puntos de E sobre los puntos de S. Sin embargo, las 'cuentas' salen un poco difíciles, sobre todo en el cálculo de la inversa de f.

Propusimos definir otro homeomorfismo f:E->S, pero ahora 'estirando' cada uno de los semiejes del elipsoide independientemente de los otros dos. Hay muchas formas de hacer esto, pero una es especialmente sencilla. ¿Desde el punto de vista del álgebra lineal, ¿qué tipo de aplicación f nos sale? ¿y desde el punto de vista de la geometría afín?

sábado, 24 de septiembre de 2011

Clases durante el período 3 octubre - 17 octubre

Del 3 al 17 de octubre (ambos inclusive) estaré de viaje. Las clases continuarán con su horario y emplazamiento habitual, siendo impartidas por el profesor del grupo B, César Rosales.

Sin embargo, los lunes 3 10 y 17 de octubre hay un solapamiento de los horarios de Geometría de Curvas y Superficies entre los horarios de los grupos A y B, que se solucionará de la siguiente forma: La hora del lunes (10-11) del grupo A se intercambiará esos 3 días por  la hora de ampliación de estadística del miércoles. El resto de días no habrá cambio alguno en el horario de Curvas y Superficies, ni en su emplazamiento. 

Presentación de la asignatura

En esta primera entrada del curso 2011/12 recogeremos una descripción rápida de la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies.

Horario: LMJV 10-11
Aula: A11
Horario de tutorías: M 17-20, X 11-14

Página web: http://www.ugr.es/~jperez/docencia/Geom3/index.html
mi email: jperez@ugr.es

Temario: 5 temas, ver aquí.
Apuntes: Saldrán en formato pdf en la página web de la asignatura.
Libros recomendados:
MONTIEL, S. Y ROS A.: Curvas y Superficies. Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997 (ISBN: 84-8254-095-5).

Prácticas de ordenador: 5 sesiones, impartidas por César Rosales

Método de evaluación:
Dos partes: teoría y prácticas con ordenador, con un peso de un 90% y de un 10%, respectivamente. Se realizarán dos exámenes parciales eliminatorios y un examen final. En la nota de teoría se podrán tener en cuenta criterios como el trabajo y la participación en clase, la resolución de ejercicios y la realización de controles de algunos temas concretos. El 10% correspondiente a las prácticas con ordenador se podrá obtener asistiendo a un mínimo de tres prácticas de las cinco totales, puntuando cada práctica como máximo un 2% de la nota final. Para aprobar la asignatura será necesario obtener una puntuación mínima de 4 puntos sobre 10 en la parte de teoría.

sábado, 4 de junio de 2011

El funcional energía y los campos de Jacobi

Dedicamos la semana a resolver los problemas de la última relación, sobre geometría intrínseca. Entre éstos, estudiamos el funcional energía como alternativa al funcional longitud para encontrar las curvas que realizan la distancia entre dos puntos de una superficie. En cierto sentido, el funcional energía se adapta mejor que la longitud a este problema, ya que sus puntos críticos para variaciones propias son las geodésicas (lo mismo ocurría con el funcional longitud) pero la energía distingue la parametrización que hace geodésica al correspondiente punto crítico (eso no lo hacía el funcional longitud).
Vimos cómo la forma índice aparece de forma natural al estudiar la segunda derivada del funcional energía sobre una geodésica. En esta forma índice juega un papel fundamental la curvatura de Gauss de la superficie, lo que permite establecer teoremas de comparación al estilo del teorema de Bonnet (nosotros lo demostramos usando el funcional longitud, pero también puede usarse la energía para ello).
El radical de la forma índice detecta los campos de Jacobi sobre la geodésica que se anulan en los extremos. Los campos de Jacobi son las soluciones de cierta EDO lineal de segundo orden sobre la geodésica. La teoría general de EDO muestra que el espacio de campos de Jacobi sobre una geodesica es siempre 4-dimensional, aunque el subespacio de los que se anulan en los extremos tiene dimensión menor o igual a 1. Por ejemplo, la geodésica dada por medio círculo máximo en una esfera admite un campo de Jacobi no nulo (único salvo múltiplos constantes) que se anula en los extremos.

Terminamos la última clase hablando algo de las asignaturas optativas que pueden cursarse a partir de ésta de Curvas y Superficies (o que de alguna forma se relacionan con ésta). Aquí tienes una versión más extendida de algunas de las cosas que comentamos:
  • Geometría y Topología. Trata de el estudio de las variedades diferenciables, que son las "superficies en dimensión arbitraria". A diferencia de lo que hemos hecho en este curso (salvo en el capítulo 4), no se presupone que dichas variedades estén incluídas en un espacio euclídeo de dimensión superior (geometría intrínseca). No se estudian propiedades métricas, sino sólo algunas que dependen de la estructura diferenciable.
  • Geometría global de Curvas y Superficies. Es una continuación de la asignatura que hemos terminado, donde se estudian propiedades que afectan a la superficie globalmente. La herramienta fundamental en esta asignatura es la integración.
  • Geometría Riemanniana. Es una continuación de "Geometría y Topología", para variedades diferenciables. En este caso se las dotará de una métrica Riemanniana, que es una métrica definida positiva sobre cada espacio tangente, que varía diferenciablemente. Generaliza a la primera forma fundamental de las superficies.
  • Geometría de Convexos. Se estudian propiedades de este tipo de conjuntos, funciones soporte y envolventes convexas. Aparecen conceptos fundamentales como la distancia de Hausdorff entre conjuntos y se aborda la desigualdad isoperimétrica, una de las principales relaciones entre la geometría, la teoría de la medida y las ecuaciones en derivadas parciales.
  • Topología II. Se clasifican, desde el punto de vista topológico, las superficies compactas según sean orientables o no, y según una cantidad numérica asociada (la característica de Euler o el género). También se estudian invariantes algebraicos básicos asociados a un espacio topológico, como el grupo fundamental. Este grupo permite abordar los espacios recubridores, una herramienta fundamental para muchas construcciones en geometría y topología.
  • Topología Algebraica. Se estudia la teoría de homología singular. Esta es una poderosa herramienta para distinguir espacios topológicos, donde las sucesiones exactas y el Algebra Homológica juegan un papel fundamental.
  • Geometría y Relatividad. Se estudian modelos diferenciables y métricos del Universo. Estos son variedades diferenciables dotados de una métrica Lorentziana, similar a una métrica Riemanniana pero no definidas positivas; en lugar de esto tienen una dirección "definida negativa": la dirección temporal. Por supuesto, aparecen conceptos físicos como rayos de luz y gravedad, todos tratados desde el punto de vista de la Geometría Diferencial.
  • Grupos de Lie. Estudia un tipo especial de variedades diferenciables, que admiten una estructura algebraica de grupo. En estas variedades los subgrupos se compartan como subvariedades, y se mezclan la Geometría Diferencial con la Teoría de Grupos. También tienen aplicaciones físicas importantes.

sábado, 28 de mayo de 2011

El teorema de Bonnet: un resultado de comparación

Dedicamos el lunes a terminar la prueba del Teorema de Bonnet sobre comparación del diámetro de una superficie completa que se curva más que una esfera: como era de esperar, el diámetro no puede superar al de la esfera.

La demostración se basa en acotar por arriba la longitud de cualquier geodésica minimizante en la superficie (el Teorema de Hopf-Rinow nos asegura que esto equivale a acotar por encima el diámetro de la superficie, ya que dados dos puntos cualesquiera existe una geodésica minimizante que los une).

Aunque lo enunciamos, no vimos en clase la prueba del Teorema de Hopf-Rinow, pero está disponible en un pdf colgado en la página web de la asignatura. Como alternativa, hay una demostración más sencilla de una versión reducida del Teorema de Hopf-Rinow para superficies cerradas, que sólo necesita el Teorema de Arzelá-Ascoli, y que puede encontrarse en el libro de Montiel-Ros "Curvas y superficies".

Este teorema de Bonnet es un ejemplo de resultado de comparación, donde a partir de una estimación (de curvatura) de una superficie en términos de una superficie modelo (la esfera), comparamos algún invariante geométrico (el diámetro) de ambas superficies. Hay muchos resultados de este tipo, que no veremos en este curso: a partir de estimaciones de curvatura uno puede comparar normas de campos de Jacobi, puntos conjugados, longitudes de geodésicas minimizantes, áreas, y muchos más objetos geométricos asociados a la geometría de una superficie.

El Teorema de Bonnet cierra el temario teórico de la asignatura. Dedicamos el resto de la semana a resolver ejercicios de la relación del capítulo 4.

sábado, 21 de mayo de 2011

Primera entrada "efectiva"

Aunque las clases están a punto de terminar, no he querido esperar al curso que viene para empezar con las entradas al blog.

Esta semana hemos continuado con diversos aspectos de geometría intrínseca de superficies, sobre todo basados en al cálculo variacional para el funcional longitud. Sabíamos de semanas anteriores que las geodésicas son los puntos críticos de este funcional (para variaciones propias), y vimos que las geodesicas radiales minimizan la longitud al menos, mientras estén contenidas en una bola geodésica centrada en su extremo inicial.

A continuación estudiamos la segunda forma de variación de la longitud, y obtuvimos condiciones sobre la curvatura de Gauss de la superficie y sobre la longitud de una geodésica parametrizada por el arco que aseguran que ésta no puede minimizar la longitud. Esencialmente, la superficie debe curvarse al menos como una esfera, y la geodésica debe ser más larga que medio círculo máximo sobre esa esfera.

La propiedad de minimización de la longitud para geodésicas radiales contenidas en bolas geodésicas fue fundamental para definir una distancia natural entre puntos de una superficie (conexa), lo que nos permitió definir conceptos globales como la completitud. Terminamos enunciando el teorema de Hopf-Rinow, que nos caracteriza la completitud en términos de la exponencial, de hasta cuándo están definidas la geodésicas, o de la validez del teorema de Heine-Borel en una superficie. La demostración del teorema de Hopf-Rinow necesita el concepto de entorno totalmente normal, que no veremos en clase. Tanto este concepto como la propia demostración del teorema pueden encontrarse en el Apéndice disponible en la página web de la asignatura. (ver link en la columna de la derecha).

Bienvenida

Esta es la primera entrada del blog de la asignatura Geometría de Curvas y Superficies, y éste es el primer blog que me he animado a mantener.

No sé si será útil o o no, ni de la cantidad de trabajo que va a demandar. Pero creo que puede ser una vía de comunicación dinámica sobre la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies. La idea es que sea un complemento a los contenidos desarrollados en clase, dónde comentar aspectos del "día a día". Muchos de estos contenidos y material usado en la asignatura están alojados de forma más estática en la web

http://www.ugr.es/~jperez/docencia/Geom3/index.html


El éxito de este blog, como el de todos, es la participación de vosotros, los usuarios.