domingo, 30 de octubre de 2011

Area del recinto encerrado por una curva cerrada simple plana

Dentro de las curvas planas tenemos unas especialmente sencillas: son las curvas cerradas simples. Intuitivamente, éstas son las curvas que encierran recintos del plano (con borde $C^{\infty }$): Una curva $\alpha \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2$ se dice cerrada si $\alpha (a)=\alpha (b)$ y $\alpha ^{(k)}(a)=\alpha ^{(k)}(b)$ para todo $k\in \mathbb{N}$ (todas las derivadas coinciden). Un resultado topológico, el teorema de la curva de Jordan, asegura que toda curva cerrada simple plana divide a $\mathbb{R}^2$ en dos recintos, uno acotado (el dominio interior, al que denotaremos por $\Omega $) y otro no acotado (su complementario). Tenemos entonces dos cantidades ligadas a $\alpha $: su longitud $L=\int _a^b\| \alpha '(t)\| \, dt$, y el área $A(\Omega )$ del dominio interior encerrado por $\alpha $.

Dedicaremos esta entrada a dar la siguiente fórmula para calcular esta área, y dejaremos la relación básica entre área y longitud (o perímetro) para una entrada posterior: si escribimos $\alpha (t)=(x(t),y(t))$ y orientamos $\alpha $ de forma que el dominio interior siempre queda a la izquierda de la curva, entonces el área del dominio interior se calcula así:
\[
A(\Omega )\stackrel{(a)}{=}-\int _a^by(t)x'(t)\, dt\stackrel{(b)}{=}\int _a^bx(t)y'(t)\, dt
\stackrel{(c)}{=}\frac{1}{2}\int _a^b(xy'-yx')\, dt.
\]
De hecho, la fórmula anterior es válida aunque $\alpha $ no sea $C^{\infty }$: basta que sea $C^1$ a trozos.
  1. Usa la regla de Barrow para probar que la igualdad en (b) es cierta.
  2. Deduce (c) de la igualdad en (b).
  3. Prueba (a) en el siguiente caso particular: El recinto $\Omega $ está delimitado por dos segmentos verticales y dos grafos de funciones $f,h\colon [x_0,x_1]\to \mathbb{R} $, siendo $f < h$, como en la siguiente figura:
En la figura anterior, hemos marcado los cuatro vértices del recinto de forma que uno es $\alpha (a)=\alpha (b)$, luego $\alpha $ recorre el grafo de $h$ hasta llegar a $\alpha (t_1)$; entre $\alpha (t_1)$ y $\alpha(t_2)$ recorremos un segmento vertical, para luego recorrer el grafo de $f$, y terminar con otro segmento vertical desde $\alpha (t_3)$ hasta $\alpha (b)$.

Para probar el caso general de la fórmula (a), supondremos que existe una dirección en $\mathbb{R}^2$  de forma que la curva $\alpha $ sólo es tangente a un número finito de rectas en esa dirección, como en la siguiente figura:

Admitiendo lo anterior, prueba la igualdad (a).

Hay una forma más directa de demostrar la fórmula de $A(\Omega )$, pero necesita la llamada fórmula de Green (o el teorema de la divergencia, o el teorema de Stokes). La fórmula de Green nos dice que si $p(x,y),q(x,y)$ son funciones $C^1$ definidas en un abierto que contiene a $\Omega $, entonces
\[
\int _{\Omega }\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y} \right) dxdy=\int _a^b\left[ p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t),y(t))y'(t)\right] dt.
\]
Prueba la fórmula $2A(\Omega )=\int _a^b(xy'-yx')\, dt$ usando la fórmula de Green. Esta fórmula de Green se verá como corolario del Teorema de Stokes, en la asignatura Geometría y Topología de 4º curso, aunque puede que ya os haya aparecido en otra asignatura.


jueves, 27 de octubre de 2011

La cisoide de Diocles, la duplicación del cubo y el problema de Delian

A veces, una curva "clásica" lleva detrás una historia curiosa. Un buen ejemplo de esto es la cisoide de Diocles, una curva plana que se define de la siguiente forma:
Supongamos que tenemos una circunferencia $\mathbb{S}^1(C,a)$ de centro $C=(a,0)$ y radio $a>0$ en $\mathbb{R}^2$. Dado $\theta \in (-\pi/2,\pi /2)$, el rayo $R_{\theta }=\{ re^{i\theta }\ | \ r>0\} $ que parte del origen $O=(0,0)$ con ángulo polar $\theta $, corta a $\mathbb{S}^1(C,a)$ en un punto $M_1$ y a la recta $L=\{ x=2a\} $ en otro punto $M_2$. La cisoide de Diocles es la curva plana $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)\to  M (\theta )\in \mathbb{R}^2$ definida por la condición
\[
\| OM\| =\| M_1M_2\|.
\]
(en rojo en la siguiente figura)

  1. Prueba que en coordenadas polares, $M(\theta )$ viene dada por \[ M(\theta )=2a\, \sin \theta \tan \theta ^\, e^{i\theta }, \quad \theta \in (-\pi /2,\pi /2). \] ¿Es la cisoide una curva regular?
  2. Tras hacer el cambio de variable $t=\tan (\theta )$, demuestra que obtenemos la reparametrización \[ \alpha (t)=\left( \frac{2at^2}{1+t^2},\frac{2at^3}{1+t^2}\right),\quad t\in \mathbb{R}. \]
  3. Llamando $(x,y)$ a las coordenadas cartesianas de $\mathbb{R}^2$, prueba que la ecuación en implícitas de la cisoide de Diocles es \[ (x^2+y^2)x-2ay^2=0.\]  Por lo tanto, la cisoide es el conjunto de ceros del polinomio de orden tres $p(x,y)=(x^2+y^2)x-2ay^2$, es decir, es una curva algebraica de grado tres, o cúbica (recuerda que las cónicas en el plano viene dadas por ecuaciones de segundo grado en dos variables).
Y ahora, la historia 'curiosa' de la cisoide de Diocles: Según el historiador griego Plutarco, los habitantes de la ciudad griega de Atenas sufríeron una epidemia de peste allá por el 429 a.C. Como adoraban al dios Apolo y éste era patrón de la ciudad de Delfos, algunos atenienses fueron a Delfos a consultar a un oráculo de este dios griego sobre cómo podrían detener la epidemia. El oráculo les respondió que debían sustituir el altar a Apolo por otro del doble de volumen (desde luego, una respuesta de dudosa utilidad). El altar era cúbico, y los griegos eran muy aficionados a la geometría. Así que se planteó el dilema de cómo calcular el lado $u>0$ de un cubo de volumen doble de otro cubo dado, de lado $a>0$. Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Evidentemente, la ecuación a resolver era
\[

u^3=2a^3
\]
siendo $a$ conocido y $u$ incógnita. Nosotros sabemos despejar $u$ en esa ecuación, pero lo que los griegos querían no era despejarla sino construir el nuevo altar. Así que, sin saberlo, buscaban un método para construir $\sqrt[3]{2}$, sólo usando regla y compás. Desafortunadamente, este número irracional no es construíble con regla y compás, como demostró Pierre Wantzel ( ¡ en 1837 ! ), pero esto no lo sabían los griegos, por supuesto. Así que empezaron a investigar sobre el tema.

El primer avance significativo sobre este problema lo hizo el geómetra griego  Hipócrates de Quíos, que lo redujo al llamado problema de Delian: dados $a,b>0$, supongamos que podemos construir $u,v>0$ tales que
\[\mbox{(1)}\qquad \frac{u}{a}=\frac{v}{u}=\frac{b}{v}.
\]
Hipócrates de Quios se dio cuenta de si suponemos $u,v$ construídos cumpliendo (1), entonces
\[
u^3=a^3\left( \frac{u}{a}\right) ^3=a^3\frac{u}{a}\frac{v}{u}\frac{b}{v}
=a^3\frac{b}{a}=a^2b.
\]
Luego tomando $b=2a$ tendremos $u^3=2a^3$, y ya está nuestro cubo duplicado. Desde luego, no parece que hayamos avanzado mucho en nuestro intento de duplicar el cubo: ahora debemos resolver el problema de Delian dados $a,b$, pero... ¿cómo?


El geómetra (también griego, cómo no) Diocles estudió la cisoide en el siglo II a.C. (no sabemos si la descubrió él, pero lleva su nombre desde entonces) y la usó para resolver el problema de Delian y por tanto la duplicación del cubo. Es decir, si tenemos ya construída la cisoide, entonces Diocles dio un proceso basado en regla y compás para resolver el problema de Delian (por supuesto, de aquí podemos deducir que la cisoide no es construíble con regla y compás, o al menos no es posible construir todos sus puntos, porque cualquier cantidad finita de ellos sí que puede construírse por el procedimiento de arriba).

Veamos el método, muy ingenioso, dado por Diocles: Nos dan $a,b>0$, y queremos construir $u,v>0$ cumpliendo (1). Basta construir sólo $u>0$ tal que
\[
 \mbox{(2)}\qquad u^3=a^2b,
\]
porque definiendo $v=\frac{u^2}{a}$ (recordemos que el producto y cociente de números construíbles con regla y compás sigue siendo construíble) tendremos también construído $v$, y es fácil probar que estos $u,v$ resuelven el problema de Delian para $a,b$.

Así que nos toca construír $u>0$ tal que (2) se cumple, dados $a,b$. Para ello, Diocles partió de una cisoide como la que aparece arriba de la página. Llamamos $C=(a,0)$ al centro de la circunferencia de la figura de arriba, y $L_C=\{ x=a\} $ a la recta vertical que pasa por $C$. Llevamos la distancia $b$ sobre esta recta $L_C$, empezando en $C$ y en sentido ascendente. De esta forma producimos un punto $B=(a,b)$. Unimos $B$ con $A=(2a,0)$ y llamamos $P=(x,y)$ al punto de corte del segmento $AB$ con la cisoide. Ahora trazamos el segmento $OP$, que cortará a $L_C$ en un punto $U=(a,u)$ para cierto $u>0$.Y éste es el $u$ que buscamos: como los triángulos $OCU$ y $OP_0P$ son semejantes, el teorema de Thales (¡ otro griego !) nos dice que
\[
 \mbox{(3)}\qquad
\frac{u}{a}=\frac{\| CU\| }{\| OC\| }=\frac{\| P_0P\| }{\| OP_0\| }=\frac{y}{x}.
\]
Análogamente, la semejanza de los triángulos $APP_0$ y $ABC$ nos lleva a que
\[
 \mbox{(4)}\qquad
\frac{y}{2a-x}=\frac{\| PP_0\| }{\| P_0A\| }=\frac{\| BC\| }{\| CA\| }=\frac{b}{a}.
\]
Por tanto,
\[
\frac{u^3}{a^3}\stackrel{(3)}{=}\frac{y^3}{x^3}=y^2\frac{y}{x^3}\stackrel{(\star )}{=}\frac{x^3}{2a-x}
\frac{y}{x^3}=\frac{y}{2a-x}\stackrel{(4)}{=}\frac{b}{a},
\]
donde en ($\star $) hemos usado la ecuación en implícitas de la cisoide. De lo anterior deducimos que $u^3=a^2b$ como queríamos.

Para saber más sobre la cisoide de Diocles, puedes leer esto.

PD: Al escribir esta entrada se me viene a la cabeza que estos días estamos inundados por noticias sobre la posible condonación de parte de la deuda griega para con la Unión Europea; y digo yo, podríamos acordarnos un poco de todo lo que nos han dado los griegos en Ciencia, Filosofía y Arte a lo largo de su historia, a la hora de discutir sobre la conveniencia o no de ese perdón parcial de la deuda contraída... (sí, ya sé que el mundo real no se rige por estas consideraciones).

lunes, 24 de octubre de 2011

La ecuaciones de Frenet (y Serret)

Hemos visto en clase las ecuaciones de Frenet para una curva en el espacio. Este sistema lineal de 3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vectoriales con 3 incógnitas vectoriales (9 ecuaciones y 9 incógnitas escalares) fue descubierto por el matemático francés Jean Frédéric Frenet en su tesis doctoral, hacia 1847. De forma independiente, otro matemático francés, Joseph Alfred Serret, obtuvo las mismas ecuaciones en 1851. La ecuaciones de Frenet no sólo describen la variación del triedro asociado a una curva p.p.a., sino que también son la base de que la curvatura y la torsión determinen esencialmente a la curva, gracias a los teoremas clásicos de existencia y unicidad de problemas de valores iniciales asociados a un sistema de EDO.

Usa el desarrollo en serie de Taylor para probar que si $\alpha :I\to \mathbb{R}^3$ es una curva p.p.a. definida en un intervalo abierto que contiene a cero, entonces para $t$ suficientemente próximo a cero se tiene
\[
\alpha (t)=\alpha (0)+t\left( 1-\frac{\kappa(0)^2t^2}{6}\right) T(0)+t^2\left( \frac{\kappa(0)}{2}+\frac{\kappa'(0)t}{6}\right) N(0)-\frac{\kappa(0)\tau (0)t^3}{6}B(0)+\mathcal{O}(t^4),
\]
donde $\kappa, \tau $ son la curvatura y torsión de $\alpha $, $\{ T,N,B\} $ es su triedro de Frenet, y
$t\in I\mapsto \mathcal{O}(t^4)\in \mathbb{R}^3$ es una aplicación tal que
\[
\lim _{t\to 0}\frac{O(t^4)}{t^3}=0.
\]

sábado, 22 de octubre de 2011

Algo más sobre la evoluta

En clase definimos la evoluta $e\colon I\to \mathbb{R}^2$ de una curva $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ p.p.a. y con curvatura positiva, y vimos que las dos propiedades siguientes se cumplen:
  1. El vector tangente a la evoluta se anula exactamente en los puntos críticos de la curvatura de $\alpha $, es decir, en los vértices de $\alpha $ (ver esta entrada sobre vértices de una curva). Por ejemplo, la evoluta de una elipse deja de ser regular en 4 puntos.
  2. La dirección de la recta tangente a la evoluta coincide con la dirección de la recta normal a la curva original. 
La propiedad 2 anterior se puede llevar un paso más allá: prueba que la recta afín tangente a la evoluta coincide con la recta afín normal a la curva original.

Prueba que la evoluta de la elipse $\alpha \colon [0,2\pi )\to \mathbb{R}^2$, $\alpha (t)=(a\, \cos t,b\, \sin t)$, viene dada por
\[
e(t)=\left( \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t, \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t\right) ,\quad t\in [0,2\pi ).
\]

Esta última curva se llama la astroide, y es otro ejemplo de curva algebraica clásica; está relacionada con la cardioide, con quien comparte algunos aspectos de su proceso de generación a partir de un círculo que gira sobre otro. Para más información sobre la astroide, lee esto.

Para terminar con la evoluta, hablaremos un poco sobre su proceso 'inverso': Si $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ es una curva p.p.a. y $t_0\in I$, entonces la involuta de $\alpha $ respecto a $t_0$ es la curva $\beta \colon I\to \mathbb{R}^2$ dada por
\[
\beta(t)=\alpha (t)+(t_0-t)\alpha '(t),\quad t\in I.
\]
Prueba que $\beta $ es una curva diferenciable, pero no es regular (su regularidad falla en $t=t_0$ y en los puntos donde la curvatura de $\alpha $ se anula). Suponiendo que las curvaturas de $\alpha $ y $\beta $ son estrictamente positivas, prueba que la evoluta de $\beta $ es la curva $\alpha $. En este sentido, la evoluta y la involuta son procesos inversos.

viernes, 21 de octubre de 2011

La cardioide

La cardioide es la curva plana que se obtiene mediante la trayectoria que describe un punto $\alpha (t)$ sobre una circunferencia que está rodando sin deslizarse de forma tangente sobre el exterior de una segunda circunferencia del mismo radio, siendo esta última fija. El nombre le viene de la forma de corazón que tiene la curva.
Sigue las instrucciones a continuación para describir una parametrización de la cardioide:
  1. Salvo aplicar una homotecia y una tralsación, podemos suponer que ambas circunferencias son de radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos $C(t)=2e^{it}$ al centro de la circunferencia que está rodando y $Q(t)=e^{it}$ al punto de tangencia entre ambas circunferencias, $t\in [0,2\pi )$. Prueba que la longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto $Q(t)$ hasta $\alpha (t)$, es $t$.
  2. Deduce quel apartado 1 que el punto $\alpha (t)$ se obtiene aplicando un giro de ángulo $t$ al vector $Q(t)-C(t)$. Deduce de aquí que $\alpha (t)=2e^{it}-e^{2it}$, $t\in [0,2\pi )$.
  3. Demuestra que la longitud total de la cardioide es 16.
  4. ¿Es la cardioide una curva regular?
La cardioide es una de muchas curvas planas que fueron descubiertas y estudiadas en el siglo XVIII. Puedes leer más curiosidades sobre la misma aquí.



miércoles, 19 de octubre de 2011

La elipse y sus vértices

Calcula la curvatura de una elipse de semiejes $a,b>0$ ($a\neq b$). Prueba que los puntos críticos de su curvatura son exactamente los puntos de intersección de la elipse con sus semiejes, más exactamente: los dos máximos de la curvatura son los puntos donde la elipse pasa por su eje mayor, mientras que los dos mínimos son los puntos de intersección de la elipse con su eje menor.

En general, los puntos críticos de la curvatura de una curva plana se llaman los vértices de la curva. Hay un resultado global de curvas planas, llamado el teorema de los cuartro vértices, que afirma que toda curva plana, regular, cerrada y simple (es decir, sin autointersecciones) tiene, por lo menos, 4 vértices, de los que al menos dos son máximos locales y otros dos son mínimos locales. Puedes leer algo más sobre este resultado en
http://en.wikipedia.org/wiki/Four-vertex_theorem