La última entrada (?)

Bueno, pues esto se está terminando. De hecho, muchos de vosotros estaréis ya en vuestra casa, de vacaciones. Acabo de cerrar el acta, y toca hacer balance:
En acta venían un total de 37 alumnos matriculados. De ellos, 16 (un 43%) no se han presentado. De los restantes, tenemos 11 suspensos, 9 aprobados y una matrícula de honor. Algunas conclusiones:

1. Un 43% de no presentados es demasiado. La mayoría no han asistido a clase, de donde deduzco que no hay una relación directa entre pagar una matrícula y esforzarse por aprovechar el dinero invertido. Raro, dado los tiempos que corren... Por otro lado, uno se plantea si esto detecta una falta de motivación en ese alumnado; ¿fallo a la hora de plantear las clases? (se admiten comentarios).
2. Ya hemos tratado el tema de los no presentados. Si sólo contamos a los que realmente se han enfrentado con la asignatura, los porcentajes son de un 52% de suspensos y un 48% de aprobados. Es decir, roza la mitad de éxito. No está mal, dado que no es una asignatura considerada de las más fáciles y necesita herramientas de álgebra lineal, topología y análisis.
3. En el punto anterior no he distinguido los aprobados según su nota. Pero si lo hacemos, nos damos cuenta que no hay ningún notable y que salvo una matrícula de honor, los demás son aprobados (de 5 a 6,9). Esto no tiene una lectura muy positiva, denota falta de homogeneidad y de trabajo en grupo. 

Como resumen, un sabor agridulce: poca motivación y/o trabajo en grupo, aunque el porcentaje final de éxito de la asignatura no ha sido malo. En fin, ya que contaréis vuestra opinión ahora que ha terminado.

 Dos apuntes más de información:

• Durante el verano, aquellos que estéis preparando la convocatoria de septiembre, podéis plantear dudas por correo electrónico a mi dirección de email. Por cierto, el examen es el 12 de septiembre, a las 9:30 horas, en las aulas C21 y C22.
• El año que viene la asignatura de Curvas y Superficies como la hemos conocido no se seguirá impartiendo. El lugar de esta asignatura se ofertará la correspondiente del Grado, que aunque tiene el mismo nombre pasa a ser cuatrimestral (de segundo cuatrimestre y de 7,5 créditos totales). Yo no estaré impartiéndola.

Examen final de la asignatura

El próximo lunes 9 de julio de 2012 tendremos el examen final de Geometría de Curvas y Superficies, a las 9:15 horas en el aula F01.

Se buscan monitores para la exposición IMAGINARY-RSME

Como supongo que sabéis ya, el día 15 de junio se inaugura la exposición IMAGINARY-RSME sobre geometría en el Parque de las Ciencias. Me acaban de comunicar que necesitan voluntarios dispuestos a colaborar con la exposición como monitores, para realizar turnos. No hay que tener conocimientos especiales de Geometría o de Matemáticas, y sin duda puede resultar una experiencia interesante.

Si algun@ está interesad@, por favor enviadme un email o bien un comentario a esta entrada. También sería válido colaborar durante un tiempo (veo difícil que nadie esté dispuesto desde el 15 de junio hasta el 14 de octubre).

Inauguración de la exposición IMAGINARY-RSME

El próximo 15 de junio a las 5 de la tarde, se inaugurará en
el Parque de las Ciencias de Granada la exposicion IMAGINARY-RSME

http://www.ugr.es/~surfaces/imaginary/

Brian Conrey, director del American Institute of Mathematics,
impartirá una conferencia (para una audiencia general) sobre
el que se considera el problema abierto más renombrado de las
matematicas: la hipótesis de Riemann,

      Primes and zeros: the million dollar mystery

Después Sebastià Xambó, Coordinador del proyecto RSME-IMAGINARY,
hara una presentacion de la exposición y de la relación entre las
imágenes y la creación en matemáticas.

Sin duda ésta es una oportunidad interesante de descubrir otras
facetas, más divulgativas, de las matemáticas. Espero que os animéis a
participar.

Geodésicas de una superficie de revolución

En esa entrada indicaremos cómo determinar las geodésicas de la superficie $S$ obtenida al revolucionar una curva $\alpha (t)=(x(t),0,z(t))$, $t\in I$, alrededor del eje $z$. Como en otras ocasiones, supondremos que $I$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ y que $x(t)>0$ para no tener singularidades en $S$. Además, podemos suponer que $\alpha $ está parametrizada por el arco (eso no cambia el conjunto $S$). Llamaremos $'=\frac{d}{dt}$.

La parametrización estándar de $S$ es $X(t,\theta )=\left( x(t)\cos \theta ,x(t)\sin \theta ,z(t)\right) $.
Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a $X$:
\[
E=1,\qquad F=0,\qquad G(t,\theta )=x(t)^2.
\]
Ahora usamos la entrada "Geodésicas (I)" para escribir el sistema de EDO a resolver para encontrar las geodésicas de $S$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}+\Gamma _{11}^1(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^1(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^1(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\\
\ddot{\theta }+\Gamma _{11}^2(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^2(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^2(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\end{array}
\right.
\]
donde la geodésica buscada se escribe $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ (o sea, queremos determinar $t(u)$ y $\theta (u)$), $\dot{}=\frac{d}{du}$ y los $\Gamma _{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel de $S$ respecto a $X$. En nuestro caso, es fácil comprobar que estos símbolos son
\[
\Gamma _{12}^2(X(t,\theta ))=\frac{x'(t)}{x(t)},\quad \Gamma _{22}^1(X(t,\theta ))=-x(t)x'(t),
\]
y el resto de símbolos de Christoffel son cero. Por tanto, nuestro sistema de EDO se escribe
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}-x(t)x'(t)(\dot{\theta})^2=0,
\\
\ddot{\theta }+2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}\dot{\theta}=0,
\end{array}
\right.
\]
La primera consecuencia del sistema anterior es que las generatrices de $S$ son geodésicas, si se parametrizan proporcionalmente al arco. Esto determina las geodésicas $\gamma $ de $S$ en las que $\theta $ es constante, y quitándonos este caso, la unicidad de las geodésicas nos permite suponer que nuestra geodésica $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ cumple que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros.

Hemos visto que todas las generatrices (meridianos) son geodésicas de $S$. Así que tiene sentido preguntarse:

¿Qué meridianos (es decir, curvas $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$) son geodésicas?

Del sistema anterior se deduce que $-x(t_0)x'(t_0)(\dot{\theta})^2=0$, y como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, deducimos que $x'(t_0)=0$. Recíprocamente, si $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ cumple $x'(t_0)=0$, entonces la primera ecuación del sistema se satisface trivialmente, mientras que la segunda se satisface siempre que $\theta (u)$ sea una función afín de $u$. Por tanto, un meridiano $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ es geodésica de $S$ si y sólo si $x'(t_0)=0$ (es decir, $\alpha '(t_0)$ es vertical, o equivalentemente, la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico).

Antes de estudiar las geodésicas de $S$ que no sean meridianos ni paralelos, es conveniente deducir la relación de Clairaut: Recordemos que sobre una geodésica $\gamma (u)$, la velocidad tiene  norma constante. Por tanto,
\[
c^2=\| \dot{\gamma } \| ^2=(\dot{t})^2+x^2(t)(\dot{\theta })^2,\qquad (1)
\]
para cierta constante $c\geq 0$ (podemos suponer $c>0$ ya que si $c=0$ entonces $\gamma $ es un punto). Por otro lado,
\[
\frac{d}{du}[x^2(t(u))\dot{\theta }(u)]=2xx'\dot{t}\dot{\theta }+x^2\ddot{\theta }=0,
\]
sin más que sustituir la segunda de las ecuaciones del sistema de las geodésicas. Eso nos dice que
\[
x^2(t(u))\dot{\theta }(u)=d\in \mathbb{R} \quad \mbox{(constante).}
\]
Si calculamos el ángulo $\varphi =\varphi (u)$ que forma la geodésica $\gamma $ con cada paralelo que la corte, obtenemos
\[
\cos \varphi (u)=\frac{\langle \dot{\gamma },X_{\theta }\rangle }{\| \dot{\gamma }\| \| X_{\theta }\| }
=\frac{\dot{\theta }x^2}{c\, x}=\frac{\dot{\theta }x}{c},
\]
Luego al multiplicar $\cos \varphi (u)$ por la distancia de $\gamma (u)$ al eje de revolución nos queda constante: ésta es la relación de Clairaut.
\[
x(t(u))\cos \varphi (u)=\frac{x^2(t(u))\dot{\theta }(u)}{c}=d/c,
\]
Notemos que si una geodésica $\gamma (u)$ tiene un punto $\gamma (u_0)$ con tangente horizontal, entonces o bien el paralelo que pasa por $\gamma (u_0)$ es geodésica (esto ocurre si y sólo si la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico, y en tal caso por unicidad de geodésicas $\gamma $ coincide con ese paralelo), o bien el paralelo que pasa por
$\gamma (u_0)$ no es geodésica, pero en tal caso $\cos \varphi (u)=1$. Por la relación de Clairaut,
los puntos $\gamma (u)$ en los que la última posibilidad ocurre cumplen $x(t(u))=d/c$, luego esta última posibilidad sólo ocurre en puntos aislados de $\gamma $.

Vamos ya a determinar las geodésicas de $S$ que no son paralelos ni meridianos: Como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, la segunda ecuación del sistema de las geodésicas se puede escribir
\[
\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}= -2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}
\]
o equivalentemente,
\[
\frac{d}{du}[\log \dot{\theta }(u)]=-2\frac{d}{du}[\log(x(t(u)))].
\]
Integrando,
\[
\log \dot{\theta }(u)=-2 \log(x(t(u))) + C,
\]
para cierta $C\in \mathbb{R}$. Por tanto,
\[
\dot{\theta }(u)=\frac{e^C}{x(t(u))^2},\qquad (2)
\]
o bien
\[
\theta (u)=\int ^u\frac{e^C}{x(t(u))^2}\, du. \qquad (3)
\]
La ultima fórmula nos dice que si obtenemos $t(u)$ entonces podremos sustituir en dicha fórmula para deducir $\theta (u)$. O dicho de otra forma, sólo necesitamos conocer $t(u)$.

A continuación veremos que $t(u)$ puede obtenerse integrando una EDO de primer orden. Sustituímos (2) en (1):
\[
c^2=(\dot{t}(u))^2+\frac{e^{2C}}{x(t(u))^2},
\]
luego
\[
\dot{t}(u)=\pm \frac{\sqrt{c^2x(t(u))^2-e^{2C}}}{x(t(u))},\qquad (4)
\]
que es una EDO de primer orden. Una vez resuelta (4) podremos sustituir en (3) y con ello
obtener $\gamma (u)$. Pero claro, en general no podemos asegurar encontrar EXPLÍCITAMENTE la solución general de (4). Si no estamos interesados en cómo se recorra $\gamma (u)$ sino sólo en su traza, podremos prescindir del parámetro $u$, dando la curva $\gamma $ en ecuaciones implícitas $\theta =\theta (t)$ respecto a las coordenadas $t,\theta $ (esto podrá hacerse localmente siempre que $\dot{t}(u)\neq 0$, recordemos que esto puede suponerse salvo en puntos aislados). Derivando implícitamente,
\[
\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{du}\frac{du}{dt}=\dot{\theta }(u)\frac{1}{\dot{t}(u)}=
\pm \frac{e^C}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}},
\]
que puede integrarse directamente:
\[
\theta (t)=\pm e^C\int ^t\frac{dt}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}}+\mbox{cte.}
\]

Geodésicas (III)

En clase hemos visto el resultado de que una isometría local lleva geodésicas en geodésicas. Esto permite encontrar las geodésicas de un cilindro o de un cono, a partir de las geodésicas del plano que son las líneas rectas. Pero para el caso del cono, tendremos que construir una isometría local de un trozo de plano en un cono. Ese es el objetivo es esta entrada.

Consideremos un cono (la mitad del mismo, para que sea una superficie)
$$
C_{\delta }=\{ p=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ | \ z^2=\delta ^2(x^2+y^2), \ z > 0\} ,
$$
donde $\delta > 0$. Si pensamos en $x,y$ con coordenadas polares
\[
x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta ,
\]
entonces
\[
\| p\| ^2=\rho ^2+z^2=(1+\delta ^2)\rho ^2,
\]
Si desarrollamos el cono sobre un plano con coordenadas cartesianas $(u,v)$ de forma que el vértice se aplique en el origen, entonces las generatrices del cono se aplicarán en las rectas que parten del origen. En coordenadas polares $(r,\alpha )$ (es decir, $u=r\cos \alpha$, $v=r\sin \alpha $), tendremos que el módulo $r$ será la distancia en la generatriz del cono al origen:
\[
r=\sqrt{1+\delta ^2}\rho ,
\]
y el argumento $\alpha $ en el plano $(u,v)$ recorrerá un sector de amplitud menor que $2\pi $ (pensar en un cucurucho que desenrollamos). Eso quiere decir que la relación entre el argumento $\theta $ (que se mueve en $[0,2\pi ]$) y $\alpha $ es lineal, pongamos
\[
\alpha =\mu \theta
\]
con $\mu \in (0,1)$ a determinar. O sea, a un punto del $(u,v)$-plano con coordenadas polares $(r,\alpha )$ le hacemos corresponder el punto del cono
\[
G(r,\alpha )=(x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\delta \rho )=
\frac{r}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta )
\]
Pero queremos una isometría local del $(u,v)$-plano en el cono $C_{\delta }$. Es decir, debemos componer $G$ con la "inversa" de las coordenadas polares $F(r,\alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=(u,v)$ (ponemos comillas porque dicha inversa no tiene sentido global, sino sólo localmente y fuera del origen del $(u,v)$ plano. Haremos la cuenta localmente, pero aún así denotaremos $F^{-1}(u,v)=(r,\alpha )$ a dicha inversa local).

Queremos ajustar el parámetro $\mu $ de forma que $G\circ F^{-1}=(G\circ F^{-1})(u,v)$ sea la isometría local que estamos buscando, de un abierto del $(u,v)$ plano en el cono $C_{\delta }$. Esto vendrá dado por que las derivadas parciales de $G\circ F^{-1}$ cumplan
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\| ^2=\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=1,\quad \langle (G\circ F^{-1})_u,
(G\circ F^{-1})_v\rangle =0.
\]
Así que imponemos las ecuaciones anteriores. Por la regla de la cadena,
\[
(G\circ F^{-1})_u=r_uG_r+\alpha _uG_{\alpha }, \quad
(G\circ F^{-1})_v=r_vG_r+\alpha _vG_{\alpha }. \qquad (1)
\]
Ahora vamos a calcular todo lo anterior. Por un lado,
\[
\left\{ \begin{array}{l}
1=u_u=(r\cos \alpha )_u=r_u\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _u,
\\
0=v_u=(r\sin \alpha )_u=r_u\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _u,
\end{array}
\right.
\]
y resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales, obtenemos
\[
r_u=\cos \alpha ,\quad \alpha _u=-\frac{\sin \alpha }{r}.
\]
Razonando análogamente obtenemos 
\[
\left\{ \begin{array}{l}

0=u_v=(r\cos \alpha )_v=r_v\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _v,
\\
1=v_v=(r\sin \alpha )_v=r_v\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _v,
\end{array}
\right.
\]
de donde
\[
r_v=\sin \alpha ,\quad \alpha _v=\frac{\cos \alpha }{r}.
\]
Por otro lado, derivando parcialmente en $G(r,\alpha )$ obtenemos
\[
G_r=\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta ),
\]
\[
G_{\alpha }=\frac{r}{\mu \sqrt{1+\delta ^2}}(-\sin (\alpha /\mu ),\cos (\alpha /\mu ),0),
\]
luego
\[
\| G_r\|^2=1,\quad \| G_{\alpha }\| ^2=\frac{r^2}{\mu ^2(1+\delta ^2)},\quad
\langle G_r,G_{\alpha }\rangle =0.
\]
Sustituyendo en (1) tenemos
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\|^2=\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\langle (G\circ F^{-1})_u,(G\circ F^{-1})_v\rangle =\sin \alpha \cos \alpha \left(
1- \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)}\right) ,
\]
luego tomando $\mu =\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}$ tenemos que $G\circ F^{-1}$ es una isometría local.

El cono es un ejemplo de superficie desarrollable,  en el sentido de que podemos "extenderla" en un trozo de plano sin distorsionarla. Con más rigor, una superficie desarrollable $S$ es aquella en la que cada punto admite un entorno donde hay definida una isometría con imagen un abierto del plano. Esto es equivalente a que la curvatura de Gauss de $S$ sea idénticamente cero ($S$ es llana). Todas las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$ son regladas. El Teorema de Stoker da la lista competa de las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$:

• Cilindros (no necesariamente circulares), es decir, $\gamma \times \mathbb{R}$ donde $\gamma $ es una curva plana,
• Conos (no necesariamente circulares)),
• Planos,
• Las superficies que se parametrizan de la forma $X(t,s)=\gamma (t)+s\gamma '(t)$, donde $\gamma $ es una curva en $\mathbb{R}^3$.

Por definición, las superficies desarrollables son también aquellas de las que pueden trazarse mapas (locales) sin distorsión alguna, por lo que tienen interés en cartografía: por ejemplo, en muchas ocasiones se usa una proyección cartográfica de una región terrestre en una superficie desarrollable, para después desarrollar la superficie en una región del plano (un ejemplo es la proyección transversa de Mercator). Las superficies desarrollables también son útiles en la producción de objetos y materiales, ya que se construyen doblando suavemente una plancha de material, (metal, plástico, etc). Por ejemplo, los aros de una guitarra o muchas partes del casco de un barco.

Geodésicas (II)

Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada por el arco en una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$, cuya curvatura $\kappa $ como curva en $\mathbb{R}^3$ no tiene ceros. Demostrar que las coordenadas del vector $\gamma ''(t)$ respecto de la base ortonormal $\{ \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\times \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\} $ (aquí $N$ es una aplicación de Gauss local para $S$) son del tipo $(0,k_g(t),k_n(t))$, donde $k_g(t)$ es una función diferenciable y
\[
k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))
\]
es la curvatura normal de $S$ en la dirección de $\gamma '(t)$ respecto a la aplicación de Gauss $N$. A la función $k_g(t)$ se le llama la curvatura geodésica de $\gamma $ (no depende de $N$ salvo el signo). Por tanto,
\[
\kappa ^2=\| \gamma ''\| ^2=k_g^2+k_n^2,
\]
es decir, la curvatura de $\gamma $ como curva en $\mathbb{R}^3$ tiene dos "componentes", una tangencial a $S$ (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde $S$) y otra normal a $S$ (la curvatura normal, que es extrínseca). Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\gamma $ es geodésica de $S$.
2. La curvatura geodésica $k_g$ de $\gamma $ es idénticamente nula.
3. Para cada $t$, el plano osculador a $\gamma $ en $t$ es perpendicular a $T_{\gamma (t)}S$. 

En la geometría intrínseca de S, la única curvatura "visible" de $\gamma $ es la curvatura geodésica. Esta curvatura está ligada a la curvatura de Gauss de $S$ mediante la fórmula de Gauss-Bonnet: Dado un dominio $\Omega \subset S$ compacto con frontera $C^{\infty }$, se tiene
\[
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
\]
donde $\chi (\Omega )$ es la característica de Euler de $\Omega $. Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera $C^{\infty }$ a trozos, en cuyo caso hay que añadir en el miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente $\gamma '$ al pasar por los vértices de $\gamma =\partial \Omega $. Esta última fórmula generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $\pi $: si el triángulo es esférico, esta suma es superior a $\pi $ mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que $\pi $. En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría.

Geodésicas (I)

Hemos visto en clase el concepto de geodésica como la generalización natural de las rectas en la geometría plana. Para ello hemos usado una aproximación variacional, viendo las geodésicas como curvas parametrizadas proporcionalmente al arco que son puntos críticos de la longitud para todas las variaciones propias. Este punto de vista variacional fue, de hecho, el comienzo de la geometría diferencial allá por 1696 con Euler.

El concepto de geodésica es el más importante en geometría intrínseca, junto con la curvatura de Gauss. Y el hecho de que "ser geodésica" sea un concepto puramente intrínseco permite generalizarlo al caso de que la superficie sea abstracta, es decir, no tenemos porqué basarnos en cómo la superficie está situada en el espacio, siempre que conozcamos su primera forma fundamental. Además, el concepto de geodésica puede definirse en variedades Riemannianas (es decir, "superficies abstractas de dimensión arbitraria dotadas de una primera forma fundamental"), e incluso en variedades más generales como las semi-Riemannianas (aquellas donde la primera forma fundamental no tiene porqué ser definida positiva, sino sólo una métrica no degenerada). Aunque no veremos nada sobre estas últimas, vale la pena comentar que los modelos matemáticos de la Teoría de la Relatividad de Einstein son variedades semi-Riemannianas de dimensión 4, donde la métrica no degenerada tiene signatura $(+,+,+,-)$ (llamadas espacio-tiempos; las tres dimensiones asociadas al signo $+$ corresponden al espacio, y la dimensión asociada al signo $-$ corresponde al tiempo). La trayectoria que sigue una partícula en caída libre en un espacio-tiempo es una curva en esa variedad de dimensión 4, que resulta ser una geodésica.

Pero volvamos al caso más sencillo de geodésicas en superficies de $\mathbb{R}^3$. Siguiendo un análogo a lo que ocurría en la demostración del teorema egregium de Gauss, es natural esperar una caracterización de las geodésicas de una superficie sólo en términos de la primera forma fundamental. Y esta caracterización es la siguiente: supongamos que $X(u,v)$ es una parametrización de una superficie $S$, con símbolos de Christoffel $\Gamma _{ij}^k$, $i,j,k=1,2$ (recordemos que los símbolos de Christoffel podían calcularse sólo con los coeficientes $E,F,G$ de la primera forma fundamental). Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada proporcionalmente al arco en $S$, cuya traza está contenida en la imagen de $X$ (esto no es restrictivo, ya que siempre puede hacerse localmente). Así, podemos escribir
\[
\gamma (t)=X(u_1(t),u_2(t)),
\]
donde $u_1(t),u_2(t)$ son funciones derivables. Probar que $\gamma $ es geodésica de $S$ si y sólo si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
\[
u_k''(t)+\sum _{i,j=1}^2(\Gamma _{ij}^k\circ \gamma )(t)u_i'(t) u_j'(t)=0,\quad k=1,2.
\]
Una primera consecuencia del sistema anterior es una demostración alternativa a la de clase de la propiedad de que por cada punto $p\in S$ y para cada vector $v\in T_pS$ pasa una única geodésica $\gamma $ con condiciones iniciales $\gamma (0)=p$, $\gamma '(0)=v$ (basta usar la existencia y unicidad de soluciones de un problema de valores iniciales asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias).

La banda de Möbius

Me envía Jesús Antonio Bueno Linares una entrada sobre la banda de Möbius, donde da una parametrización de la misma y prueba que no es orientable. No tengo nada que objetar, las cuentas son impecables; si acaso, he modificado un par de detalles sobre los comentarios. Así que las pongo aquí abajo, y animo a los demás a que aporten algo más que comentarios a mis entradas: SE ADMITEN ENTRADAS (aunque antes debéis mandármelas a mi por email para echarles un vistazo y subirlas al blog).

Parametrización de la banda de Möbius

Consideremos el segmento $S=\{ (0,0,t)\ : \ |t|<\varepsilon \}$ para un $\varepsilon>0 $ suficientemente pequeño (en la figura de abajo, $\varepsilon =0.3)$. La idea para parametrizar una cinta de Möbius es la siguiente:

Consideramos la circunferencia unidad en el plano $\{ z=0 \}$, parametrizada por $\alpha (\theta)=(\cos \theta,\sin \theta,0)$, $|\theta |<\pi$. Para cada $\theta$ giramos el segmento $S$ un ángulo de $\theta/2$ alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto $(1,0,0)$ y giramos ángulo $\theta$ ahora con eje de giro OZ.

Al recorrer $\theta$ todo el intervalo $(-\pi,\pi)$, el centro de nuestro segmento habrá recorrido toda la circunferencia $\alpha $, pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegará con la orientación cambiada respecto a la original con la que salió (se habrá girado un ángulo $\pi$). Por tanto, esta construcción nos proporciona una banda de Möbius. Ahora hacemos las cuentas:

La matriz del giro de $\theta/2$ respecto del eje OY, respecto de la base usual, es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\]

Rotamos el segmento $S$, obteniendo los puntos
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
t
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
t \sin(\theta/2)\\
0\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}\right) ,
\]
para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.
Ahora trasladamos este último segmento (cuyo centro es el origen $(0,0,0)$)
sumándole $(1,0,0)$, obteniendo $(1+t \sin(\theta/2),0,t \cos(\theta/2))$,
$|t|<\varepsilon $.

Por último, giramos el segmento que acabamos de obtener un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en $\theta \in (0,2\pi )$) y obtendremos una parametrización de nuestra banda de Möbius:
\[
X(t,\theta)=\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta&\sin\theta&0\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
1+t \sin(\theta/2)\\
0
\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
-\sin\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
\]
donde $(t,\theta)\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\times (-\pi,\pi)$. Como hemos dicho antes, tomamos $\varepsilon $ suficientemente pequeño como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gráfico producido con Mathematica muestra que $\varepsilon =0.3$ es válido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que $X$ esté definida en un abierto de $\mathbb{R}^2$ (necesario para que sea parametrización), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrización dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos $\Sigma $.

No orientabilidad de la banda de Möbius

Para ver que $\Sigma $ no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicación de Gauss $N:\Sigma\rightarrow\mathbb{S}^2$ (en particular, $N$ es de clase $C^\infty$). Comprobemos que $N$ no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo cálculos en la parametrización anterior,
\[
X_t(t,\theta )=(\cos \theta \sin (\theta/2),-\sin \theta\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))
\]
\[
X_\theta(0,\theta)=(-\sin \theta,-\cos \theta,0)
\]
luego el vector
\[
(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )=(\cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2))
\]
lleva la dirección normal a $\Sigma $ en $X(0,\theta )$. Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicación de Gauss en términos de $X_t\times X_{\theta }$ (que normaliza este  último vector) no va a intervenir porque $\| X_t\times X_{\theta }\| $ siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos  considerando. Ahora podemos calcular la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al salir por $\theta =0$ (calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 0^+$):
\[
\lim_{\theta\to 0^+}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right) =(1,0,0),
\]
mientras que la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al llegar por $\theta =2\pi $
(llegamos al mismo punto de $\Sigma $ que antes, pero ahora calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 2\pi ^-$) es:
\[
\lim_{\theta\to 2\pi^-}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right)
=(-1,0,0),
\]
Y aquí tenemos la contradicción, ya que de existir la aplicación de Gauss tendríamos el mismo límite lateral en los dos casos (sería el valor de la aplicación de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducción analítica del hecho de que al seguir continuamente una determinación del normal y darle una vuelta a la banda de Möbius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.

Gauss

Hemos visto en clase una primera idea, no demasiado precisa, de qué diferencia la geometría intrínseca de la extrínseca: sólo tener en cuenta la primera forma fundamental (equivalentemente, longitudes de curvas o áreas de recintos en una superficie) frente a tener en cuenta cómo la superficie se curva en el espacio (segunda forma fundamental).

El ejemplo más importante de resultado de geometría intrínseca es el Teorema Egregium de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1825), que viene a decir que si deformamos una superficie preservando las distancias entre sus puntos, entonces conservaremos la curvatura de Gauss. En particular, sólo podrán trazarse mapas planos sin distorsiones de superficies llanas, pero no de la tierra, ni siquiera de un trozo muy pequeño de ésta.

Este resultado de Gauss es sólo uno de tantos que dejó en matemáticas. No es casualidad que se la haya llamado el "Príncipe de las Matemáticas", y que se le considere el mayor matemático desde los tiempos de Euclides. Quizás nadie haya influido como él en el desarrollo posterior de las matemáticas, a las que el propio Gauss llamaba "la reina de las ciencias".

Gauss nació en un pueblo de la Baja Sajonia (Alemania), en una familia humilde. Su madre era analfabeta, y no llegó a anotar la fecha de nacimiento de Gauss ni a tener documento alguno de ello. Pero sí era bastante religiosa, y recordaba que dio a luz a su hijo Carl un miércoles, ocho días antes de la fiesta de la Ascención. El propio Gauss resolvió el problema de calcular su fecha de nacimiento, ideando un método para calcular fechas pasadas y futuras (calendario perpetuo).

Ni que decir tiene que Gauss fue un niño prodigio, y hay varias historias alrededor (aunque no sabemos muy bien cuáles son ciertas). Se dice que con tres años corrigió mentalmente y sin error en sus cálculos a su padre, mientras éste hacía un cálculo de sus finanzas. Otra historia famosa cuenta que en la escuela primaria y como castigo por haberse portado mal, su maestro JG Büttner, le impuso a Gauss la siguiente tarea: suma la lista de números naturales del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en cuestión de segundos, ante el asombro de su maestro y sus ayudantes (se cree que Gauss usó para ello el siguiente razonamiento: si sumamos pares de términos de la serie, empezando por extremos opuestos de la lista, producirán siempre la misma suma parcial: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, por lo que en total tenemos 50 × 101 = 5050).

Estas y otras historias llamaron la atención del Duque de Braunschweig, que le financió sus estudios desde los 15 hasta los 21 años. Sus mejores trabajos en teoría de numeros, que han modelado esta disciplina hasta hoy, están en el libro Disquisitiones Arithmeticae, que escribió cuando tenía 21 años, recién acabados sus estudios en la Universidad de Gottingen. En este campo, podemos citar (aunque quizás no sea el más importante de sus descubrimientos) un resultado que llevó a una anécdota: Gauss probó que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat $2^{2^n}+1$, es constructible con regla y compás (la constructibilidad de polígonos era un problema abordado desde los antiguos griegos). Tan orgulloso estaba Gauss de este descubrimiento que quiso que su tumba tuviera grabado un polígono regular de $17=2^{2^2}+1$ lados. Sin embargo, el encargado de esculpir la lápida se negó a hacerlo porque este polígono se parece demasiado a una circunferencia como para poder diferenciarlos en la lápida.

Mucho más importante es el Teorema Fundamental del Algebra, también debido a Gauss (aunque en su demostración original, Gauss usaba implícitamente el Teorema de la curva de Jordan, que no había sido rigurosamente demostrado aún). No obstante, Gauss ideó otras tres demostraciones de este importante resultado posteriormente.

 Otro campo en el que hizo importantes descubrimientos fue la astronomía. En 1801, el astrónomo italiano Piazzi decubrió el asteroide Ceres. Piazzi lo siguió con su telescopio durante 3 meses, hasta que su trayectoria fue ocultada por la del Sol. Según los cálculos de Piazzi, cuando el asteroide debió reaparecer no lo hizo, lo que mostraba algún fallo en los cálculos de su trayectoria. Y es que los datos obtenidos por Piazzi y las matemáticas desarrolladas en aquella época no eran suficientes para trazar la trayectoria del asteroide. Gauss se interesó por el problema, y en 3 meses de trabajo predijo la posición del asteroide mediante un novedoso método para determinar una cónica en el espacio, teniendo como datos un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (tres líneas de visión desde la Tierra), de las que se sabe los tiempos en que se han determinado (a partir de este dato se podían calcular las longitudes de los arcos de cónica correspondientes, por la ley de Kepler). Este método produce una ecuación de grado 8, que Gauss pudo resolver. Este problema y su solución llevó a Gauss a interesarse por el movimiento de los cuerpos celestes, lo que a la larga le supuso ser nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio astronómico de Gottingen. Durante sus investigaciones en este campo introdujo la constante gravitacional de Gauss, descubrió el método de los mínimos cuadrados para minimizar el error en las interpolaciones necesarias en Astronomía, introdujo la distribución Gaussiana (campana de Gauss), entre otros.

En Geometría, y además del Teorema Egregium, Gauss afirmó haber descubierto geometrías no Euclídeas pero nunca publicó este descubrimiento, que fue finalmente publicado por Bolyai. Es curiosa una carta que Gauss escribió a Bolyai: "Alabar sus descubrimientos equivaldría a elogiarme a mí mismo. Todo el contenido de su obra ... coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años". Otro hecho resaltable es que Gauss asistió a la famosa habilitación de Riemann donde este último sentó las bases de la Geometría Riemanniana actual. Cuenta el físico Weber, amigo de Gauss, que éste, de camino a casa, le dijo emocionado que lo que había explicado Riemann cambiaría la geometría en lo sucesivo, y así fue.

En Física, Gauss hizo importantes descubrimientos en electromagnetismo. A él se deben las llamadas Leyes de Kirchoff, el telégrafo electromecánico, y métodos prácticos de cálculo de la intensidad del campo elctromagnético terrestre (que han estado en uso hasta bien avanzado el siglo XX). También trabajó en óptica: estudió las leyes de paralaje y formuló las leyes que gobiernan las lentes.

En fin, aunque algunas de estas curiosidades no esté contrastada, no hay duda de que Gauss se encuentra entre los tres mejores matemáticos de la historia, junto a  Euclides y Newton. El famoso viajero Alexander von Humboldt preguntó a Laplace: "¿Quién es el mayor matemático de Alemania?" a lo que Lapace respondió "Pfaff" (famoso por estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico). Asombrado, von Humboldt replicó: "¿Y qué me dice de Gauss?"   La respuesta de de Laplace fue: "Oh, Gauss es el mayor matemático del mundo".


Como última anécdota (algo macabra), incluiremos que tras su muerte, el cerebro de Gauss fue preservado y estudiado, y que se encontraron profundos surcos en su materia gris, lo que a principios del siglo XX se interpretó como una explicación de su genio sin igual.

Prácticas de ordenador para el segundo cuatrimestre

Os pongo abajo la información correspondiente a prácticas de ordenador de Geometría de Curvas y Superficies, del segundo cuatrimestre. Resalto que la primera práctica es MAÑANA.

Práctica 4: Curvaturas de una superficie
Día: 27 de marzo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6

Práctica 5: Geometría intrínseca de superficies
Día: 22 de mayo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6

Novedades en la página de la asignatura

Ya están disponibles en la página de la asignatura las soluciones de los problemas del capítulo 3 y la teoría del capítulo 4, que empezaremos a ver mañana o pasado.

Inversiones y geometría conforme

En clase hemos estudiado la inversión de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo respecto a la esfera unidad. Esta inversión puede hacerse respecto a cualquier esfera (¿podrías dar su forma explícita?), y generaliza en cierta forma la reflexión en un plano afín.

Esta idea de "unificar" esferas y planos, y por tanto reflexiones respecto a éstos, es la base de la geometría conforme. En geometría lineal (también llamada álgebra lineal), las transformaciones que permiten identificar objetos son los isomorfismos de espacios vectoriales. En geometría afín, son afinidades. En geometría métrica, son las isometrías. Así podemos seguir con topología (los homeomorfismos), geometría diferencial (los difeomorfismos) etc. En el caso de la geometría conforme,  no hacemos distinciones de objetos si entre ellos podemos establecer un  difeomorfismo que conserve ángulos (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos conformes). Un ejemplo de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo es una reflexión respecto a un plano, y otro de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo es la inversión respecto a una esfera centrada en el origen.

En dimensión 2, las aplicaciones conformes (que conservan ángulos) son exactamente las aplicaciones holomorfas (cuando conservan la orientación) y las antiholomorfas (cuendo la invierten). Y hay una enorme variedad de difeomorfismos conformes entre parejas de abiertos de $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$: de hecho, un teorema muy importante (debido a Riemann) dice que si $A$ es un abierto conexo y simplemente conexo de $\mathbb{C}$, entonces o bien $A=\mathbb{C}$ o existe un difeomorfismo conforme de $A$ en el disco unidad abierto $\{ z\in
\mathbb{C}\ : \ |z|<1\} $.

En dimensión $n\geq 3$, las cosas cambian drásticamente: otro teorema famoso, el teorema de Liouville, asegura que los únicos difeomorfismos conformes entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ son movimientos rígidos, homotecias, inversiones respecto de $(n-1)$-esferas, y composiciones de éstos. Esta "escasez" de difeomorfismos conformes en dimensión alta hace que un equivalente al teorema de Riemann en este caso es imposible: existen muchas parejas de abiertos simplemente conexos de $\mathbb{R}^3$ entre los que no es posible establecer un difeomorfismo conforme.

Dimensions

Esta mañana ha salido en clase los videos de Étienne Ghys "Dimensions". Realmente vale la pena echarles un vistazo. Os dejo el enlace a la versión en español, aquí. Tenéis que hacer click en la línea inferior, en "Español". Que los disfrutéis.

Longitud y área (II): Las paradojas de Schwarz y de la pintura.

En esta entrada seguiremos avanzando sobre si es posible definir el área de una superficie mediante aproximación por superficies poliédricas o por otros métodos.

LA PARADOJA DE SCHWARZ.

Durante gran parte del siglo XIX, el concepto de área de una superficie aceptado comúnmente se basaba en aproximaciones poliédricas, atribuído al matemático parisino Serret (1819-1885), famoso por su teoría junto con Frenet del triedro usado para representar curvas en el espacio. A dichas aproximaciones poliédricas no se les exigían convexidad (lo cual es razonable, de igual forma que no se exige convexidad a las aproximaciones poligonales de una curva para calcular su longitud). Pero en 1880, el matemático alemán Schwarz (1843-1921) descubrió que había una deficiencia en esta definición de área, aunque no publicó un contraejemplo hasta 1883. En 1881, Peano también advirtió el problema de la definición y sorprendentemente, encontró el mismo contraejemplo que Schwarz: es posible aproximar un cilindro circular recto por una sucesión de superficies poliédricas que dependen de dos parámetros n y m, de forma que si hacemos tender n,m a infinito de distintas maneras... ¡ obtenemos distintos límites en las áreas de las superficies de la sucesión !


A continuación os dejo un enlace a un archivo pdf con la explicación de la paradoja de Schwarz (en inglés). Esta misma paradoja puede encontrarse en una versión para Mathematica, en este enlace.

El problema de la definición de área por aproximaciones sucesivas poliédricas se puede subsanar exigiendo convexidad a las aproximaciones, gracias al siguiente resultado:

Teorema: Sean $\Omega _1\subset \Omega _2$ dos dominios convexos y compactos de $\mathbb{R}^3$ con fronteras regulares. Entonces,
Volumen $(\Omega _1)\leq  \mbox{Volumen}(\Omega _2)$   y   Area $(\partial \Omega _1) ≤ \mbox{Area}(\partial \Omega _2)$.

LA PARADOJA DE LA PINTURA.

Existen otras aproximaciones al concepto de área de una superficie $S$, igualmente satisfactorias pero que nos indican que hay que cuidar especialmente la clase de superficies para las que se define el área. Una de ellas, basada en la integración de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$ y en el Teorema de Fubini, Consiste en calcular el volumen de un entorno tubular $S(\varepsilon )$ de radio $\varepsilon >0$ de la superficie, definido por
\[
S(\varepsilon )=\{ p+tN_p\ | \ p\in S, |t|<\varepsilon \}
\]
(aquí $N$ es una aplicación de Gauss para $S$), dividir dicho volumen por la anchura $2\varepsilon $ del entorno tubular y tomar $\varepsilon $ tendiendo a cero:
\[
\mbox{Area}(S)=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon }\mbox{Volumen}(S(\varepsilon)).
\]
Por supuesto, necesitaremos que tanto $N$ como Volumen$(S(\varepsilon))$ y el límite anterior existan (todo esto se tiene, por ejemplo, si $S$ es una superficie regular compacta). Intuitivamente, la definición anterior “es como” pintar la superficie $S$ (recubrirla de una capa tridimensional muy fina): la cantidad de pintura empleada para ello aproxima el área de la superficie. Sin embargo, estamos aproximando área por volumen, que son magnitudes de distintos órdenes. Esto y el límite de la definición anterior producen problemas como el siguiente:

Consideremos la superficie $S$ obtenida el revolucionar alrededor del eje $z$ de $\mathbb{R}^3$ la curva $z = 1/x$, con $x\in (0,1)$. Puede comprobarse que el área de $S$ es infinita, pero ¡ el volumen de la región que determina por encima del plano ${z=0}$ y por debajo de $S$ es finito !

Es decir, podemos llenar la región completamente con una cantidad finita de pintura, pero si queremos pintar la superficie necesitaremos una cantidad infinita de pintura.

Terminaremos recordando la definición de área de una superficie, tal y como la entendemos actualmente. Vimos en la entrada "Jacobiano de una aplicación entre superficies" de este mismo blog que la definición de la integral de una función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre el abierto $X(U)$ imagen de una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$ es
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]

Entonces, el área de $X(U)$ se define como la integral de la función 1, es decir,
\[
\mbox{Area}(X(U))=\int _{X(U)}dA=\int _U\| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
lo cual define el área de $S$ si la superficie está recubierta por una sola parametrización. Esta última dificultad puede siempre salvarse de diversas formas. Una de ellas es usando "particiones de la unidad", un concepto que no veremos aquí. La otra es usar que la integral de Lebesgue "no distingue conjuntos de medida nula": el área no distinguirá a $S$ de un subconjunto suyo siempre que la diferencia sea despreciable desde el punto de vista de la integración de Lebesgue. Por ejemplo, cuando dicha diferencia sea de medida nula. Por tanto, el resultado siguiente nos permite definir el área de una superficie:


Teorema: Dada una superficie regular $S\subset \mathbb{R}^3$, existe una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$, tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$.

Longitud y área (I): Arquímedes

A menudo nos encontramos con el problema de estimar la longitud de una curva o el área de una superficie. En el caso de la longitud de una curva, vimos en clase que esta magnitud puede definirse mediante un proceso de paso al límite, aproximando la curva por poligonales inscritas cada vez más "próximas" a ésta. Es razonable pensar que el área de una superficie también pueda definirse mediante sucesivas aproximaciones de la superficie por superficies poliédricas, para las que será más fácil desarrollar una fórmula que esprese el área. Curiosamente, este proceso de aproximación no lleva siempre al resultado correcto. En esta entrada y en la siguiente veremos algunos aspectos de este problema, que ya fue considerado en la Grecia antigua por matemáticos como Arquímedes. Y de paso, veremos algunos aspectos históricos y curiosos.

ARQUIMEDES
Arquímedes (287-212 A.C.) fue hijo del astrónomo Fidias, quien le indujo el interés científico por explicar la naturaleza que nos rodea. Además de matemático, Arquímedes fue un notable físico, ingeniero y científico, quizás el más sobresaliente de la antigüedad. Son famosos algunos de sus inventos:

• la catapulta y el sistema de espejos y lentes usados contra los romanos en la defensa del asedio de Siracusa. Quizás el gran éxito de estos sistemas defensivos (el segundo reflejaba la luz del sol dificultando la puntería de los romanos) supuso el final de Arquímedes: los habitantes de Siracusa, ante el éxito de los artilugios defensivos ideados por Arquímedes, relajaron la vigilancia de la ciudad, que fue tomada al asalto por los romanos. Arquímedes murió en este asalto, y nos han llegado dos leyendas sobre su muerte; en una de ellas, Arquímedes es situado en sus aposentos cuando los romanos entraron en medio del estruendo propio del asalto. Arquímedes, absorto en sus investigaciones, no hizo caso de las órdenes romanas y fue asesinado allí mismo. En la otra versión, Arquímedes estaba en la playa realizando cálculos geométricos cuando los romanos irrumpieron en ella y los destruyeron; el matemático se enfrentó a los militares romanos por ese motivo, lo que le supuso la muerte. Se dice que sus últimas palabras fueron “no molestes a mis círculos”) 
• La polea compuesta y el tornillo que lleva su nombre (este artilugio permite elevar agua mediante una superficie de tipo helicoidal que gira alrededor de un eje; puede verse uno de estos tornillos de Arquímedes en el Parque de las Ciencias de Granada).
• La palanca (es famosa la frase de Arquímedes "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, en referencia a este útil invento) y el famoso Principio de Hidrostática: "un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja".

 Pero Arquímedes prefería, por encima de otras disciplinas, la Matemática y en particular la Geometría, hasta reflejarla en su epitafio, que representaba un cilindro circunscrito a una esfera.Entre los logros matemáticos de Arquímedes podemos resaltar los siguientes:

1. Aproximación de $\pi $ o más concretamente, de la razón $L/d$, donde $L$ es la longitud de la circunferencia y $d$ su diámetro: Inscribiendo una circunferencia en un cuadrado y comparando longitudes deducimos que $L < 4d$. Inscribiendo un hexágono regular en la misma circunferencia obtendremos $3d < L$. Uniendo ambas desigualdades se obtiene $3 < \pi < 4$. Usando aproximaciones de la circunferencia por otros polígonos regulares de más lados (¡hasta 96!), Arquímedes probó rigurosamente que $ 3,1408 \sim  223/71 < \pi  <  22/7\sim  3,1428 $ (¡un error menor que una milésima!). En este razonamiento encontramos algo que comentábamos arriba: la aproximación de la longitud de una curva por longitudes de poligonales convexas con los mismos extremos.
2.  Cuadratura de la parábola: Una sección de parábola $R$ (encerrada por una cuerda de ésta y un segmento perpendicular al eje de la parábola) excede en un tercio al área del triángulo $T$ de igual base que $R$ y cuyo vértice es el de la parábola, es decir $$ 3 \mbox{ Area}(R) = 4 \mbox{ Area} (T).$$
3. El área de una esfera es el cuádruple del área de su círculo máximo (o en lenguaje moderno, $4\pi R^2$ donde $R$ es el radio).
4. El volumen de una media esfera de radio $R$ sumado con el volumen del cono de vértice el centro de la esfera, radio $R$ y altura $R$, es igual al volumen del cilindro de radio $R$ y altura $R$ (el razonamiento de Arquímedes era un precedente del teorema de Fubini, ya que relacionó las áreas de las secciones de los tres cuerpos mediante planos paralelos a la base del cilindro, de altura variable $d$ entre $0$ y $R$).
   
   
   
   
5. Su teorema favorito (hizo grabarlo en su tumba como epitafio): El volumen encerrado por una esfera de radio $r$ es $2/3$ del volumen encerrado por el cilindro circunscrito, es decir, de radio $r$ y altura $2r$. Si cambiamos volumen encerrado por área, la ecuación que relaciona ambas áreas es exactamente la misma.

A la vista de los resultados anteriores, podemos concluir que Arquímedes estaba muy interesado en la geometría, y más particularmente, en longotudes, áreas y volúmenes. A continuación reproducimos un pasaje de uno de sus libros, “Sobre la esfera y el cilindro”, donde puede admirarse el rigor en la exposición y conceptos, así como una primera aproximación al concepto de longitud de una curva y área de una superficie mediante aproximación por poligonales o superficies poliédricas convexas, con lo que volvemos al tema del principio de esta entrada. Es de resaltar el detalle de que Arquímedes sólo considera aproximaciones convexas, en un alarde de perspicacia. Más adelante veremos más sobre esto.

“Sobre la esfera y el cilindro”

Arquímedes a Dosifeo, ¡salud! De las proposiciones que había estudiado redacté y te envié antes con su demostración la de que todo segmento comprendido por una recta y una parábola es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base y la misma altura que el segmento.  

Como después se me ocurrieron teoremas dignos de mención, me he estado ocupando en sus demostraciones. Y son éstos: primero, que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los que hay en ella, luego que la superficie de todo casquete esférico es igual a la del círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete a la circunferencia del círculo que sirve de base al casquete; además de éstos, que en toda esfera, el cilindro que tiene su base igual al círculo máximo de los de la esfera y una altura igual al diámetro de la esfera, es, el mismo, una vez y media la esfera y su superficie una vez y media la de la esfera.  

Estas propiedades de las figuras mencionadas existían desde antes en la naturaleza, pero eran desconocidas por quienes se dedicaron a la geometría antes que nosotros, porque a ninguno se le ocurrió que hubiera una conmensurabilidad entre estas figuras. Por ello yo no dudaría en comparar estas proposiciones con las estudiadas por otros geómetras y entre ellas, con las de Eudoxo relativas a los cuerpos sólidos, que parecen tan sobresalientes: la de que toda pirámide es un tercio del prisma que tiene la misma base que la pirámide e igual altura, y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cono e igual altura.

Aunque por naturaleza estas figuras tenían desde antes estas propiedades y aunque habían existido antes de Euxodo muchos geómetras dignos de mención, ocurrió que fueron ignoradas por todos y que ninguno cayó en la cuenta. Quienes estén capacitados podrán examinarlas. Hubiera yo debido publicarlas en vida de Conón, pues le consideraba especialmente capaz de meditar sobre ellas y emitir un juicio adecuado; considerando que es conveniente comunicarlas a los familiarizados con las matemáticas, he redactado para enviártelas las demostraciones sobre las que podrán investigar quienes se dedican a las matemáticas. 
Que sigas bien. 

Van primero las definiciones y postulados para las demostraciones. 
 
1. Definiciones:   En el plano hay algunas líneas curvas finitas que o bien están enteras por el mismo lado de las rectas que unen sus extremos o bien no tienen ningún punto por el otro lado. 
Llamo cóncava por el mismo lado a una línea tal que si en ella tomamos dos puntos cualesquiera, las rectas entre esos puntos o bien caen enteras hacia el mismo lado de la línea o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia línea, pero ninguna hacia el otro lado.
 
Igualmente existen también superficies finitas que no están situadas ellas mismas en un plano, pero tienen sus extremos en un plano, las cuales estarán o bien enteras hacia el mismo lado del plano en el que tienen sus extremos o bien no tendrán ninguna parte hacia el otro lado. Y llamo cóncavas hacia el mismo lado a superficies tales que, si se toman dos puntos en ellas, las rectas entre esos puntos caen o bien enteras hacia el mismo lado de la superficie o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia superficie, pero ninguna hacia el otro lado. 

2. Postulados:  Postulo lo siguiente: 
De la línea que tiene los mimos extremos, la recta es la más corta. De las otras líneas, si estando en un plano tienen los mismos extremos, tales líneas son desiguales, siempre que ambas sean cóncavas hacia el mismo lado y o bien una de ellas esté completamente comprendida por la otra y la recta que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte esté comprendida y otra parte sea común; y la línea comprendida es menor.  

De modo semejante, de las superficies que tienen los mismos extremos, si tienen los extremos en un plano, la menor es el plano. De las otras superficies que también tienen los mismos extremos, si los extremos están en un plano, tales superficies son desiguales, puesto que si ambas superficies fueran cóncavas hacia el mismo lado, o bien una superficie estará comprendida entera por la otra y por el plano que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte estará comprendida y otra la tendrá en común; y la superficie comprendida será menor. 

Hemos visto cómo Arquímedes parece indicar que el cálculo de la longitud de una curva o del área de una superficie podemos usar aproximaciones poligonales o poliédricas convexas. En el caso de una curva, pueden usarse aproximaciones poligonales cualesquiera, pero tal generalidad no se extiende al cálculo de áreas de superficies, como pondrá de manifiesto la Paradoja de Schwarz, que veremos en la siguiente entrada.

Sobre el Teorema de Hilbert

En clase hemos visto el Teorema de Hilbert, una condición suficiente para que un punto de una superficie sea umbilical. ¿Es cierto el teorema si se suprime únicamente la hipótesis que involucra a la curvatura de Gauss? (es decir, si el punto no se supone elíptico)

Calificaciones del primer parcial

Ya están disponibles en la página web de la asignatura las calificaciones del primer parcial. La revisión de exámenes será el próximo jueves 23 de febrero, de 18 a 20 horas.

Quería hacer algunas valoraciones sobre las notas. De entrada, los resultados son muy malos. Sólo un aprobado, 15 suspensos. Esto merece un análisis, a ver cómo podemos mejorar las expectativas para lo que queda de curso.

En general, habéis estudiado la teoría: fórmulas, conceptos principales, "problemas tipo". Un ejemplo: la mayoría hace bien lo de "probar que $S$ es una superficie orientable, y calcular una aplicación de Gauss", que se hacía poniendo $S$ como imagen inversa de un valor regular. Pero fuera de esos razonamientos estándar, las cosas cambian: muchos razonamientos son incorrectos, algunos sin ningún sentido. En general, se aprecia que habéis estudiado la teoría y puede que también los problemas que yo hice en clase, pero aquí se queda la cosa. Veo que los fallos empiezan en aspectos completamente de base como los siguientes (más o menos generalizados):

• Fallos de lógica básica. Un ejemplo: si se quiere probar por reducción al absurdo que una expresión $f(t)$ no tiene ceros, no puede suponerse que $f(t)$ vale cero PARA TODO $t$.
• No entender un enunciado. Otro ejemplo: si se pide "probar que la aplicación de Gauss de $S$ es un difeomorfismo de $S$ en $S'$ ", no se está pidiendo que encontréis ALGUN difeomorfismo entre $S$ y $S'$: la aplicación $N$ a usar ha de ser la aplicación de Gauss de la primera superficie. 
• No saber qué es una aplicación inyectiva o sobreyectiva. Inyectiva no es "que a cada punto le corresponde una imagen", ni sobreyectiva es "que a cada punto de la imagen le corresponde una única preimagen".
• No saber derivar una expresión. Casi todos habéis fallado al calcular la diferencial de $f(p)=|p|^2-\langle p,a\rangle ^2$. Este es un objetivo básico de la asignatura.
• Escribir cosas sin sentido. Por ejemplo, dividir vectores entre vectores, $\sqrt{r^2+(r')^2}=r+r'$, o el producto vectorial en $\mathbb{R}^2$. Y algo muy extendido: poner varias líneas de razonamiento, algunas veces con sentido pero que no tienen nada que ver con la conclusión, y al final, mágicamente, escribir como conclusión que la propiedad que se preguntaba en el enunciado es cierta. Es completamente ingenuo, por no decir algo peor, pensar que enrollarse es mejor que no poner nada. Las matemáticas se basan en la lógica, no en contar historias.

Aunque hay más fallos, yo creo que con lo anterior es suficiente. Lo siguiente es que cada uno de vosotros os planteéis las siguientes preguntas:

• ¿He hecho problemas por mi cuenta? ¿Cuántos de esos problemas he resuelto sin ayuda?
• ¿Cuántos textos o material adicional (internet) he usado para preparar el examen, además de lo de clase?
• ¿Cuántas veces he preguntado en clase, o en tutorías, o por correo electrónico?

Conclusiones: Ante estos resultados, uno se plantea que algo debe cambiar si queréis obtener algo más positivo al final del curso. La asignatura no puede cambiar, en cuanto a contenidos. Se me ocurren otras posibilidades:

1. Cambiar algunos aspectos de las clases. Desde luego, la teoría debe explicarse, pero podemos hacer más participativa la clase, no sólo que yo explique y vosotros copiáis (por cierto, tenéis la teoría disponible en internet). Pero los problemas sí admiten cambios. Por ejemplo, podéis distribuíros por grupos pequeños (3-4 personas) y en función del nº de grupos distribuiremos los problemas de un tema, sabiendo la distribución desde el principio del tema. Cuando yo termine la exposición de la teoría de ese tema, deberéis tener listos los problemas y uno o varios de los miembros del grupo saldrán a exponerlos.
2. Usar más los medios de que disponéis para consultar dudas: salvo contadas excepciones, no me habéis preguntado nada durante el primer parcial, ni por medio de tutorías, ni por correo electrónico, ni por este blog.
3. Debéis asimilar que no es suficiente con estudiar el material de clase. Eso es lo primero a entender, y normalmente da para aprobar. Pero uno se da cuenta de si domina una asignatura enfrentándose a problemas que no están resueltos, y comprobando si los puede resolver. Muchas veces, eso conlleva buscar en libros de la bibliografía, hacer exámenes anteriores, etc. El punto 1 anterior va de esto: que os enfrentéis a problemas sin hacer.

Ahora sois vosotros los que podéis opinar sobre lo anterior, con un comentario a esta entrada.

Soluciones del primer parcial

Ya están disponibles las soluciones del primer parcial de Geometría de Curvas y Superficies, en la página web de la asignatura. También tienes un link aquí.

Primer parcial de la asignatura

Por si alguno aún no lo supiera, el próximo miércoles 8 de febrero de 2012 tendremos el primer parcial de Geometría de Curvas y Superficies, a las 9:30 horas y en las aulas Q12 y Q22.

Jacobiano de una aplicación entre superficies

Recordemos la fórmula de cambio de variable en integración, que permite transformar la integral de una función $h$ en un recinto $n$-dimensional $\phi (\Omega )\subset \mathbb{R}^n$ (aquí $\phi $ es un difeomorfismo entre abiertos de $\mathbb{R}^n$, cuyo dominio contiene a $\Omega $), con la integral sobre $\Omega $ de la composición de $h$ con la transformación $\phi $, corregida con un factor llamado Jacobiano de la transformación:
\[
\int _{\phi (\Omega )}h(x,y) \, dxdy=\int _{\Omega }(h\circ \phi )(u,v) \, |\mbox{Jac}\phi |(u,v)\, dudv.
\]
A continuación extenderemos el concepto de Jacobiano al contexto de superficies. Esto permite definir la integral de una función sobre un recinto en una superficie.


Sea $\phi \colon S_1\to S_2$ una aplicación diferenciable entre dos superficies. Se define el valor absoluto del Jacobiano de $\phi $ como la aplicación $|\mbox{Jac}\phi |\colon S_1\to \mathbb{R} $ dada por
\[
|\mbox{Jac}\phi |(p)=\left| \det \left( \langle d\phi _p(e_i),d\phi _p(e_j)\rangle \right) _{i,j=1,2}\right| ,
\]
donde $\{ e_1,e_2\} $ es una base ortonormal de $T_pS_1$.

1. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)$ no depende de la base ortonormal $\{ e_1,e_2\} $.
2. Demostrar que  $|\mbox{Jac}\phi |(p)=\| d\phi _p(e_1) \times d\phi _p(e_2)\| $ (producto vectorial).
3. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)\neq 0$ si y sólo si $d\phi _p$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
4. En el caso particular de que $\phi $ sea una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ de una superficie $S$, demostrar que \[ |\mbox{Jac}X|=\| X_u\times X_v\| =\sqrt{EG-F^2}. \]

La última fórmula  y la primera de esta entrada justifican la definición de la integral de una función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre $X(U)$:
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
siempre que el miembro de la derecha anterior tenga sentido. Esta definición es el germen de la teoría de integración en superficies, que generaliza la integral del Análisis en recintos planos. En particular, la integral no depende del comportamiento en conjuntos de medida nula; esto, añadido a que toda superficie $S$ admite una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$, permite usar la última fórmula para integrar sobre toda la superficie $S$.

La integración en superficies es una herramienta muy útil para estudiar geometría global, pero no la desarrollaremos en este curso: la asignatura optativa Geometría global de curvas y superficies se encargará de ello.

Ovaloides

Hemos visto en clase la interpretación de que un punto de una superficie sea elíptico o hiperbólico, en términos del comportamiento local de la superficie respecto al plano tangente afín en ese punto.

Una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se dice un ovaloide si es compacta, conexa y todos sus puntos son elípticos, es decir su curvatura de Gauss es estrictamente positiva. Las esferas y los elipsoides son ejemplos de ovaloides. Prueba las siguientes propiedades de cualquier ovaloide $S$:

1. La aplicación de Gauss $N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)$ es un difeomorfismo local. 
2. $S$ es difeomorfo a una esfera.

Por ser sus puntos elípticos, un elipsoide tiene la propiedad de que siempre case a un lado del plano tangente afín en cualquiera de sus puntos. Esta idea de convexidad puede demostrarse rigurosamente, y forma parte del Teorema de Hadamard:

El dominio interior de un ovaloide $S$ es un abierto convexo de $\mathbb{R}^3$.

Podéis encontrar este teorema demostrado en el libro "Curvas y superficies" de Sebastián Montiel y Antonio Ros.

Interpretación de la segunda forma fundamental en grafos

Sabemos que toda superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se escribe localmente como el grafo de una función diferenciable $f$. Supongamos, tras una traslación y una rotación en el espacio, que $S$ pasa por el origen y que en ese punto, el plano tangente a $S$ es $\{ z=0\} $. Así, localmente tenemos la parametrización como grafo
\[
X(x,y)=(x,y,f(x,y)),
\]
siendo $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. Demuestra que si elegimos como normal unitario a $N$ de forma que $N(0,0,0)=(0,0,1)$, entonces la segunda forma fundamental de $S$ respecto a  $N$ coincide en el punto $p_0=(0,0,0)$ con el hessiano de $f$ en $(0,0)$. Por tanto, la curvatura de Gauss de $S$ en $p_0$ es el determinante del hessiano y la curvatura media es la mitad del laplaciano de $f$ en $(0,0)$. Esto relaciona la teoría de superficies llanas y la de superficies mínimas con dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales clásicas, la ecuación de Monge-Ampère
\[
f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0
\]
y la ecuación de Laplace
\[
f_{xx}+f_{yy}=0.
\]

Práctica de ordenador

Os recuerdo que la próxima práctica de ordenador, sobre superficies, plano tangente y aplicación de Gauss, está programada para el martes 17 de enero, a las 16:00, en el aula O4.

Material nuevo en la página web

He actualizado la página web de la asignatura con las soluciones de los problemas del capítulo 2 de la teoría (superficies), y con enunciados de exámenes de otros años. De éstps, podéis ir echando un vistazo a los primeros parciales y así ir cogiendo práctica. También podríamos basarnos en ese material para la(s) clase(s) extra que podamos dar antes del examen.

Por cierto, en el primer parcial entrarán los capítulos 1,2 y parte del 3, que vamos a empezar esta misma semana.

Examen de Febrero

Feliz año, ya estamos de vuelta.
Me propone Rafael Ruiz Muñoz que dediquemos algún tiempo a resolver exámenes de años anteriores, como preparación al primer parcial (8 de Febrero). Para ello podríamos dedicar 1-2 horas, si nos sobrara alguna clase. Si no sobran, podríamos dedicarle ese par de horas en horario extra. A ver qué os parece.