Todos tenemos una idea más o menos intuitiva de cuándo una trayectoria se está curvando, o de que una trayectoria se curva más que otra. Pero ¿cómo podríamos justificar una definición rigurosa de curvatura? Veremos la respuesta en clase, pero por ahora quizás sea bueno plantearse algunas preguntas sencillas (analízalas y justifica tus respuestas):
- ¿Qué curvatura debería tener una línea recta? ¿Y una circunferencia?
- ¿Puede variar la curvatura de una trayectoria si nos movemos sobre la misma?
- Si una trayectoria se obtiene a partir de otra aplicando un movimiento rígido, ¿qué relación deberían tener sus curvaturas?
- ¿A qué trayectorias deberíamos asociarles curvatura idénticamente cero? ¿Y qué trayectorias deberían tener curvatura constante no cero?
- Si pensamos en describir una curva en una carretera, podemos hablar de "curva a izquierda" y "curva a la derecha". ¿Cómo podríamos reflejar esto en el concepto de curvatura?
En cada una de las dos curvas de la figura anterior, el cambio de dirección total es de 180º. Sin embargo, ¿deberían tener estas dos curvas de la carretera la misma curvatura? Claramente, no. De aquí deducimos que la curvatura no sólo debe medir la variación de la dirección en la que se mueve la trayectoria, sino que tiene que tener en cuenta el tiempo que se tarda en cambiar esta dirección.
Hay muchas curvas en el plano y en el espacio de una gran belleza. Describirlas con palabras es demasiado complicado, por lo que los matemáticos han desarrollado un lenguaje para ello. Lo más común es describirlas mediante una parametrización (como la trayectoria de una partícula que se mueve con el tiempo). Aquí entran cuestiones formales como qué coordenadas usar (cartesianas, polares, etc). Es posible, también, describir completamente una trayectoria (salvo movimientos rígidos) diciendo cómo se curva en cada instante. Esta propiedad puede parecer en principio sorprendente, y de hecho no es cierta en dimensiones superiores.