viernes, 30 de septiembre de 2011

¿Qué es la curvatura de una trayectoria?

Mientras que en sus orígenes, las matemáticas sirvieron para algo tan mundano como contar (aritmética), la belleza que han adquirido con el paso de los siglos estriba en su capacidad para expresar la naturaleza: a menudo nos llama la atención la forma de las cosas, sus simetrías, los distintos patrones en su coloración, o cómo evolucionan ciertos fenómenos que dependen del tiempo. Es inherente al ser humano entender qué leyes rigen estos fenómenos, y ésa es la utilidad y la belleza de las matemáticas. El problema es que para intentar entender un fenómeno de la naturaleza, lo primero que debemos hacer es modelarlo en un concepto matemático, sobre el que podamos aplicar la lógica y a posteriori, deducir propiedades del sistema que pretendemos estudiar. Pongamos un ejemplo para ilustrar esto.

Todos tenemos una idea más o menos intuitiva de cuándo una trayectoria se está curvando, o de que una trayectoria se curva más que otra. Pero ¿cómo podríamos justificar una definición rigurosa de curvatura? Veremos la respuesta en clase, pero por ahora quizás sea bueno plantearse algunas preguntas sencillas (analízalas y justifica tus respuestas):
  1. ¿Qué curvatura debería tener una línea recta?  ¿Y una circunferencia?
  2. ¿Puede variar la curvatura de una trayectoria si nos movemos sobre la misma?
  3. Si una trayectoria se obtiene a partir de otra aplicando un movimiento rígido, ¿qué relación deberían tener sus curvaturas?
  4. ¿A qué trayectorias deberíamos asociarles curvatura idénticamente cero? ¿Y qué trayectorias deberían tener curvatura constante no cero?
  5. Si pensamos en describir una curva en una carretera, podemos hablar de "curva a izquierda" y "curva a la derecha". ¿Cómo podríamos reflejar esto en el concepto de curvatura?
Según lo anterior, podríamos pensar en un primer momento que la curvatura debería medir "el cambio de dirección" de la trayectoria. Y es así, pero es más sutil: Sigamos con el símil anterior de las curvas en una carretera. Imagina dos curvas a izquierda que unen tramos rectos y paralelos de la carretera, pero que una de ellas es más cerrada que la otra:
 En cada una de las dos curvas de la figura anterior, el cambio de dirección total es de 180º. Sin embargo, ¿deberían tener estas dos curvas de la carretera la misma curvatura? Claramente, no. De aquí deducimos que la curvatura no sólo debe medir la variación de la dirección en la que se mueve la trayectoria, sino que tiene que tener en cuenta el tiempo que se tarda en cambiar esta dirección. 

Hay muchas curvas en el plano y en el espacio de una gran belleza. Describirlas con palabras es demasiado complicado, por lo que los matemáticos han desarrollado un lenguaje para ello. Lo más común es describirlas mediante una parametrización (como la trayectoria de una partícula que se mueve con el tiempo). Aquí entran cuestiones formales como qué coordenadas usar (cartesianas, polares, etc). Es posible, también, describir completamente una trayectoria (salvo movimientos rígidos) diciendo cómo se curva en cada instante. Esta propiedad puede parecer en principio sorprendente, y de hecho no es cierta en dimensiones superiores.

jueves, 29 de septiembre de 2011

Primera semana de clase

Esta primera semana ha sido una primera toma de contacto, y en ella hemos repasado algunos conceptos básicos de continuidad, diferenciabilidad, producto escalar, determinante y producto vectorial. Por ejemplo, vimos cómo estos tres últimos objetos pueden derivarse, esencialmente siguiendo la regla del producto a la que estamos acostumbrados. Con esto dimos por terminada la parte previa a la asignatura.

La semana que viene empezaremos el temario propiamente dicho, sobre Geometría Diferencial. Como puede leerse en la Wikipedia, éste es el estudio de la Geometría usando las herramientas del Análisis Matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (cuyos ejemplos más sencillos son las curvas y superficies en el espacio tridimensional, que serán tratados en este curso). El concepto estrella a estudiar es la noción de curvatura, que en cierto modo puede verse como una derivada de orden 2 de la posición. Es por ello que el Análisis Matemático jugará un papel fundamental en lo que sigue.

En el Capítulo 1 estudiaremos las curvas en el plano y en el espacio, modelos matemáticos para la trayectoria de una partícula en movimiento. El concepto de curvatura en este caso está muy relacionado con el de aceleración, o equivalentemente con la variación primera del vector tangente a la trayectoria. Es conveniente que descarguéis los apuntes de la teoría de este capítulo, de la página web de la asignatura.

MathJax ya funciona

Buscando por ahí he encontrado un script que permite usar LaTex en blogger vía MathJax. Ahora podemos escribir cosas como
\[
f\colon E\to \mathbb{S}^2, \quad f(x,y,z)=\left( \frac{x}{a}, \frac{y}{b},\frac{z}{c}\right) ,
\]
y todo queda más claro ¿no?
Esto es en parte gracias a Jesús Antonio, que sacó el tema.

martes, 27 de septiembre de 2011

Prácticas de ordenador y alumnos repetidores

Siguiendo el mismo criterio del curso pasado, aquellos repetidores que en el curso 2010-2011
sacaran un 1 en prácticas de ordenador de Curvas y Superficies conservarán esa nota en las prácticas de ordenador para este curso.

lunes, 26 de septiembre de 2011

Homeomorfismo entre un elipsoide y una esfera

En clase vimos cómo construir un homeomorfismo f del elipsoide E de ecuación (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 en la esfera unidad S. Este homeomorfismo se basaba en proyectar "centralmente" (desde el origen) los puntos de E sobre los puntos de S. Sin embargo, las 'cuentas' salen un poco difíciles, sobre todo en el cálculo de la inversa de f.

Propusimos definir otro homeomorfismo f:E->S, pero ahora 'estirando' cada uno de los semiejes del elipsoide independientemente de los otros dos. Hay muchas formas de hacer esto, pero una es especialmente sencilla. ¿Desde el punto de vista del álgebra lineal, ¿qué tipo de aplicación f nos sale? ¿y desde el punto de vista de la geometría afín?

sábado, 24 de septiembre de 2011

Clases durante el período 3 octubre - 17 octubre

Del 3 al 17 de octubre (ambos inclusive) estaré de viaje. Las clases continuarán con su horario y emplazamiento habitual, siendo impartidas por el profesor del grupo B, César Rosales.

Sin embargo, los lunes 3 10 y 17 de octubre hay un solapamiento de los horarios de Geometría de Curvas y Superficies entre los horarios de los grupos A y B, que se solucionará de la siguiente forma: La hora del lunes (10-11) del grupo A se intercambiará esos 3 días por  la hora de ampliación de estadística del miércoles. El resto de días no habrá cambio alguno en el horario de Curvas y Superficies, ni en su emplazamiento. 

Presentación de la asignatura

En esta primera entrada del curso 2011/12 recogeremos una descripción rápida de la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies.

Horario: LMJV 10-11
Aula: A11
Horario de tutorías: M 17-20, X 11-14

Página web: http://www.ugr.es/~jperez/docencia/Geom3/index.html
mi email: jperez@ugr.es

Temario: 5 temas, ver aquí.
Apuntes: Saldrán en formato pdf en la página web de la asignatura.
Libros recomendados:
MONTIEL, S. Y ROS A.: Curvas y Superficies. Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997 (ISBN: 84-8254-095-5).

Prácticas de ordenador: 5 sesiones, impartidas por César Rosales

Método de evaluación:
Dos partes: teoría y prácticas con ordenador, con un peso de un 90% y de un 10%, respectivamente. Se realizarán dos exámenes parciales eliminatorios y un examen final. En la nota de teoría se podrán tener en cuenta criterios como el trabajo y la participación en clase, la resolución de ejercicios y la realización de controles de algunos temas concretos. El 10% correspondiente a las prácticas con ordenador se podrá obtener asistiendo a un mínimo de tres prácticas de las cinco totales, puntuando cada práctica como máximo un 2% de la nota final. Para aprobar la asignatura será necesario obtener una puntuación mínima de 4 puntos sobre 10 en la parte de teoría.