martes, 17 de julio de 2012

La última entrada (?)

Bueno, pues esto se está terminando. De hecho, muchos de vosotros estaréis ya en vuestra casa, de vacaciones. Acabo de cerrar el acta, y toca hacer balance:
En acta venían un total de 37 alumnos matriculados. De ellos, 16 (un 43%) no se han presentado. De los restantes, tenemos 11 suspensos, 9 aprobados y una matrícula de honor. Algunas conclusiones:
  1. Un 43% de no presentados es demasiado. La mayoría no han asistido a clase, de donde deduzco que no hay una relación directa entre pagar una matrícula y esforzarse por aprovechar el dinero invertido. Raro, dado los tiempos que corren... Por otro lado, uno se plantea si esto detecta una falta de motivación en ese alumnado; ¿fallo a la hora de plantear las clases? (se admiten comentarios).
  2. Ya hemos tratado el tema de los no presentados. Si sólo contamos a los que realmente se han enfrentado con la asignatura, los porcentajes son de un 52% de suspensos y un 48% de aprobados. Es decir, roza la mitad de éxito. No está mal, dado que no es una asignatura considerada de las más fáciles y necesita herramientas de álgebra lineal, topología y análisis.
  3. En el punto anterior no he distinguido los aprobados según su nota. Pero si lo hacemos, nos damos cuenta que no hay ningún notable y que salvo una matrícula de honor, los demás son aprobados (de 5 a 6,9). Esto no tiene una lectura muy positiva, denota falta de homogeneidad y de trabajo en grupo. 
Como resumen, un sabor agridulce: poca motivación y/o trabajo en grupo, aunque el porcentaje final de éxito de la asignatura no ha sido malo. En fin, ya que contaréis vuestra opinión ahora que ha terminado.

 Dos apuntes más de información:
  • Durante el verano, aquellos que estéis preparando la convocatoria de septiembre, podéis plantear dudas por correo electrónico a mi dirección de email. Por cierto, el examen es el 12 de septiembre, a las 9:30 horas, en las aulas C21 y C22.
  • El año que viene la asignatura de Curvas y Superficies como la hemos conocido no se seguirá impartiendo. El lugar de esta asignatura se ofertará la correspondiente del Grado, que aunque tiene el mismo nombre pasa a ser cuatrimestral (de segundo cuatrimestre y de 7,5 créditos totales). Yo no estaré impartiéndola.

jueves, 28 de junio de 2012

Examen final de la asignatura

El próximo lunes 9 de julio de 2012 tendremos el examen final de Geometría de Curvas y Superficies, a las 9:15 horas en el aula F01.

miércoles, 6 de junio de 2012

Se buscan monitores para la exposición IMAGINARY-RSME

Como supongo que sabéis ya, el día 15 de junio se inaugura la exposición IMAGINARY-RSME sobre geometría en el Parque de las Ciencias. Me acaban de comunicar que necesitan voluntarios dispuestos a colaborar con la exposición como monitores, para realizar turnos. No hay que tener conocimientos especiales de Geometría o de Matemáticas, y sin duda puede resultar una experiencia interesante.

Si algun@ está interesad@, por favor enviadme un email o bien un comentario a esta entrada. También sería válido colaborar durante un tiempo (veo difícil que nadie esté dispuesto desde el 15 de junio hasta el 14 de octubre).

domingo, 3 de junio de 2012

Inauguración de la exposición IMAGINARY-RSME

El próximo 15 de junio a las 5 de la tarde, se inaugurará en
el Parque de las Ciencias de Granada la exposicion IMAGINARY-RSME

http://www.ugr.es/~surfaces/imaginary/

Brian Conrey, director del American Institute of Mathematics,
impartirá una conferencia (para una audiencia general) sobre
el que se considera el problema abierto más renombrado de las
matematicas: la hipótesis de Riemann,

      Primes and zeros: the million dollar mystery

Después Sebastià Xambó, Coordinador del proyecto RSME-IMAGINARY,
hara una presentacion de la exposición y de la relación entre las
imágenes y la creación en matemáticas.

Sin duda ésta es una oportunidad interesante de descubrir otras
facetas, más divulgativas, de las matemáticas. Espero que os animéis a
participar.

domingo, 13 de mayo de 2012

Geodésicas de una superficie de revolución

En esa entrada indicaremos cómo determinar las geodésicas de la superficie $S$ obtenida al revolucionar una curva $\alpha (t)=(x(t),0,z(t))$, $t\in I$, alrededor del eje $z$. Como en otras ocasiones, supondremos que $I$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ y que $x(t)>0$ para no tener singularidades en $S$. Además, podemos suponer que $\alpha $ está parametrizada por el arco (eso no cambia el conjunto $S$). Llamaremos $'=\frac{d}{dt}$.

La parametrización estándar de $S$ es $X(t,\theta )=\left( x(t)\cos \theta ,x(t)\sin \theta ,z(t)\right) $.
Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a $X$:
\[
E=1,\qquad F=0,\qquad G(t,\theta )=x(t)^2.
\]
Ahora usamos la entrada "Geodésicas (I)" para escribir el sistema de EDO a resolver para encontrar las geodésicas de $S$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}+\Gamma _{11}^1(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^1(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^1(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\\
\ddot{\theta }+\Gamma _{11}^2(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^2(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^2(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\end{array}
\right.
\]
donde la geodésica buscada se escribe $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ (o sea, queremos determinar $t(u)$ y $\theta (u)$), $\dot{}=\frac{d}{du}$ y los $\Gamma _{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel de $S$ respecto a $X$. En nuestro caso, es fácil comprobar que estos símbolos son
\[
\Gamma _{12}^2(X(t,\theta ))=\frac{x'(t)}{x(t)},\quad \Gamma _{22}^1(X(t,\theta ))=-x(t)x'(t),
\]
y el resto de símbolos de Christoffel son cero. Por tanto, nuestro sistema de EDO se escribe
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}-x(t)x'(t)(\dot{\theta})^2=0,
\\
\ddot{\theta }+2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}\dot{\theta}=0,
\end{array}
\right.
\]
La primera consecuencia del sistema anterior es que las generatrices de $S$ son geodésicas, si se parametrizan proporcionalmente al arco. Esto determina las geodésicas $\gamma $ de $S$ en las que $\theta $ es constante, y quitándonos este caso, la unicidad de las geodésicas nos permite suponer que nuestra geodésica $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ cumple que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros.

Hemos visto que todas las generatrices (meridianos) son geodésicas de $S$. Así que tiene sentido preguntarse:

¿Qué meridianos (es decir, curvas $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$) son geodésicas?

Del sistema anterior se deduce que $-x(t_0)x'(t_0)(\dot{\theta})^2=0$, y como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, deducimos que $x'(t_0)=0$. Recíprocamente, si $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ cumple $x'(t_0)=0$, entonces la primera ecuación del sistema se satisface trivialmente, mientras que la segunda se satisface siempre que $\theta (u)$ sea una función afín de $u$. Por tanto, un meridiano $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ es geodésica de $S$ si y sólo si $x'(t_0)=0$ (es decir, $\alpha '(t_0)$ es vertical, o equivalentemente, la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico).

Antes de estudiar las geodésicas de $S$ que no sean meridianos ni paralelos, es conveniente deducir la relación de Clairaut: Recordemos que sobre una geodésica $\gamma (u)$, la velocidad tiene  norma constante. Por tanto,
\[
c^2=\| \dot{\gamma } \| ^2=(\dot{t})^2+x^2(t)(\dot{\theta })^2,\qquad (1)
\]
para cierta constante $c\geq 0$ (podemos suponer $c>0$ ya que si $c=0$ entonces $\gamma $ es un punto). Por otro lado,
\[
\frac{d}{du}[x^2(t(u))\dot{\theta }(u)]=2xx'\dot{t}\dot{\theta }+x^2\ddot{\theta }=0,
\]
sin más que sustituir la segunda de las ecuaciones del sistema de las geodésicas. Eso nos dice que
\[
x^2(t(u))\dot{\theta }(u)=d\in \mathbb{R} \quad \mbox{(constante).}
\]
Si calculamos el ángulo $\varphi =\varphi (u)$ que forma la geodésica $\gamma $ con cada paralelo que la corte, obtenemos
\[
\cos \varphi (u)=\frac{\langle \dot{\gamma },X_{\theta }\rangle }{\| \dot{\gamma }\| \| X_{\theta }\| }
=\frac{\dot{\theta }x^2}{c\, x}=\frac{\dot{\theta }x}{c},
\]
Luego al multiplicar $\cos \varphi (u)$ por la distancia de $\gamma (u)$ al eje de revolución nos queda constante: ésta es la relación de Clairaut.
\[
x(t(u))\cos \varphi (u)=\frac{x^2(t(u))\dot{\theta }(u)}{c}=d/c,
\]
Notemos que si una geodésica $\gamma (u)$ tiene un punto $\gamma (u_0)$ con tangente horizontal, entonces o bien el paralelo que pasa por $\gamma (u_0)$ es geodésica (esto ocurre si y sólo si la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico, y en tal caso por unicidad de geodésicas $\gamma $ coincide con ese paralelo), o bien el paralelo que pasa por
$\gamma (u_0)$ no es geodésica, pero en tal caso $\cos \varphi (u)=1$. Por la relación de Clairaut,
los puntos $\gamma (u)$ en los que la última posibilidad ocurre cumplen $x(t(u))=d/c$, luego esta última posibilidad sólo ocurre en puntos aislados de $\gamma $.

Vamos ya a determinar las geodésicas de $S$ que no son paralelos ni meridianos: Como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, la segunda ecuación del sistema de las geodésicas se puede escribir
\[
\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}= -2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}
\]
o equivalentemente,
\[
\frac{d}{du}[\log \dot{\theta }(u)]=-2\frac{d}{du}[\log(x(t(u)))].
\]
Integrando,
\[
\log \dot{\theta }(u)=-2 \log(x(t(u))) + C,
\]
para cierta $C\in \mathbb{R}$. Por tanto,
\[
\dot{\theta }(u)=\frac{e^C}{x(t(u))^2},\qquad (2)
\]
o bien
\[
\theta (u)=\int ^u\frac{e^C}{x(t(u))^2}\, du. \qquad (3)
\]
La ultima fórmula nos dice que si obtenemos $t(u)$ entonces podremos sustituir en dicha fórmula para deducir $\theta (u)$. O dicho de otra forma, sólo necesitamos conocer $t(u)$.

A continuación veremos que $t(u)$ puede obtenerse integrando una EDO de primer orden. Sustituímos (2) en (1):
\[
c^2=(\dot{t}(u))^2+\frac{e^{2C}}{x(t(u))^2},
\]
luego
\[
\dot{t}(u)=\pm \frac{\sqrt{c^2x(t(u))^2-e^{2C}}}{x(t(u))},\qquad (4)
\]
que es una EDO de primer orden. Una vez resuelta (4) podremos sustituir en (3) y con ello
obtener $\gamma (u)$. Pero claro, en general no podemos asegurar encontrar EXPLÍCITAMENTE la solución general de (4). Si no estamos interesados en cómo se recorra $\gamma (u)$ sino sólo en su traza, podremos prescindir del parámetro $u$, dando la curva $\gamma $ en ecuaciones implícitas $\theta =\theta (t)$ respecto a las coordenadas $t,\theta $ (esto podrá hacerse localmente siempre que $\dot{t}(u)\neq 0$, recordemos que esto puede suponerse salvo en puntos aislados). Derivando implícitamente,
\[
\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{du}\frac{du}{dt}=\dot{\theta }(u)\frac{1}{\dot{t}(u)}=
\pm \frac{e^C}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}},
\]
que puede integrarse directamente:
\[
\theta (t)=\pm e^C\int ^t\frac{dt}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}}+\mbox{cte.}
\]

martes, 8 de mayo de 2012

Geodésicas (III)

En clase hemos visto el resultado de que una isometría local lleva geodésicas en geodésicas. Esto permite encontrar las geodésicas de un cilindro o de un cono, a partir de las geodésicas del plano que son las líneas rectas. Pero para el caso del cono, tendremos que construir una isometría local de un trozo de plano en un cono. Ese es el objetivo es esta entrada.

Consideremos un cono (la mitad del mismo, para que sea una superficie)
$$
C_{\delta }=\{ p=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ | \ z^2=\delta ^2(x^2+y^2), \ z > 0\} ,
$$
donde $\delta > 0$. Si pensamos en $x,y$ con coordenadas polares
\[
x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta ,
\]
entonces
\[
\| p\| ^2=\rho ^2+z^2=(1+\delta ^2)\rho ^2,
\]
Si desarrollamos el cono sobre un plano con coordenadas cartesianas $(u,v)$ de forma que el vértice se aplique en el origen, entonces las generatrices del cono se aplicarán en las rectas que parten del origen. En coordenadas polares $(r,\alpha )$ (es decir, $u=r\cos \alpha$, $v=r\sin \alpha $), tendremos que el módulo $r$ será la distancia en la generatriz del cono al origen:
\[
r=\sqrt{1+\delta ^2}\rho ,
\]
y el argumento $\alpha $ en el plano $(u,v)$ recorrerá un sector de amplitud menor que $2\pi $ (pensar en un cucurucho que desenrollamos). Eso quiere decir que la relación entre el argumento $\theta $ (que se mueve en $[0,2\pi ]$) y $\alpha $ es lineal, pongamos
\[
\alpha =\mu \theta
\]
con $\mu \in (0,1)$ a determinar. O sea, a un punto del $(u,v)$-plano con coordenadas polares $(r,\alpha )$ le hacemos corresponder el punto del cono
\[
G(r,\alpha )=(x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\delta \rho )=
\frac{r}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta )
\]
Pero queremos una isometría local del $(u,v)$-plano en el cono $C_{\delta }$. Es decir, debemos componer $G$ con la "inversa" de las coordenadas polares $F(r,\alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=(u,v)$ (ponemos comillas porque dicha inversa no tiene sentido global, sino sólo localmente y fuera del origen del $(u,v)$ plano. Haremos la cuenta localmente, pero aún así denotaremos $F^{-1}(u,v)=(r,\alpha )$ a dicha inversa local).

Queremos ajustar el parámetro $\mu $ de forma que $G\circ F^{-1}=(G\circ F^{-1})(u,v)$ sea la isometría local que estamos buscando, de un abierto del $(u,v)$ plano en el cono $C_{\delta }$. Esto vendrá dado por que las derivadas parciales de $G\circ F^{-1}$ cumplan
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\| ^2=\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=1,\quad \langle (G\circ F^{-1})_u,
(G\circ F^{-1})_v\rangle =0.
\]
Así que imponemos las ecuaciones anteriores. Por la regla de la cadena,
\[
(G\circ F^{-1})_u=r_uG_r+\alpha _uG_{\alpha }, \quad
(G\circ F^{-1})_v=r_vG_r+\alpha _vG_{\alpha }. \qquad (1)
\]
Ahora vamos a calcular todo lo anterior. Por un lado,
\[
\left\{ \begin{array}{l}
1=u_u=(r\cos \alpha )_u=r_u\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _u,
\\
0=v_u=(r\sin \alpha )_u=r_u\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _u,
\end{array}
\right.
\]
y resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales, obtenemos
\[
r_u=\cos \alpha ,\quad \alpha _u=-\frac{\sin \alpha }{r}.
\]
Razonando análogamente obtenemos 
\[
\left\{ \begin{array}{l}

0=u_v=(r\cos \alpha )_v=r_v\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _v,
\\
1=v_v=(r\sin \alpha )_v=r_v\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _v,
\end{array}
\right.
\]
de donde
\[
r_v=\sin \alpha ,\quad \alpha _v=\frac{\cos \alpha }{r}.
\]
Por otro lado, derivando parcialmente en $G(r,\alpha )$ obtenemos
\[
G_r=\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta ),
\]
\[
G_{\alpha }=\frac{r}{\mu \sqrt{1+\delta ^2}}(-\sin (\alpha /\mu ),\cos (\alpha /\mu ),0),
\]
luego
\[
\| G_r\|^2=1,\quad \| G_{\alpha }\| ^2=\frac{r^2}{\mu ^2(1+\delta ^2)},\quad
\langle G_r,G_{\alpha }\rangle =0.
\]
Sustituyendo en (1) tenemos
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\|^2=\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\langle (G\circ F^{-1})_u,(G\circ F^{-1})_v\rangle =\sin \alpha \cos \alpha \left(
1- \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)}\right) ,
\]
luego tomando $\mu =\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}$ tenemos que $G\circ F^{-1}$ es una isometría local.

El cono es un ejemplo de superficie desarrollable,  en el sentido de que podemos "extenderla" en un trozo de plano sin distorsionarla. Con más rigor, una superficie desarrollable $S$ es aquella en la que cada punto admite un entorno donde hay definida una isometría con imagen un abierto del plano. Esto es equivalente a que la curvatura de Gauss de $S$ sea idénticamente cero ($S$ es llana). Todas las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$ son regladas. El Teorema de Stoker da la lista competa de las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$:

  • Cilindros (no necesariamente circulares), es decir, $\gamma \times \mathbb{R}$ donde $\gamma $ es una curva plana,
  • Conos (no necesariamente circulares)),
  • Planos,
  • Las superficies que se parametrizan de la forma $X(t,s)=\gamma (t)+s\gamma '(t)$, donde $\gamma $ es una curva en $\mathbb{R}^3$.
Por definición, las superficies desarrollables son también aquellas de las que pueden trazarse mapas (locales) sin distorsión alguna, por lo que tienen interés en cartografía: por ejemplo, en muchas ocasiones se usa una proyección cartográfica de una región terrestre en una superficie desarrollable, para después desarrollar la superficie en una región del plano (un ejemplo es la proyección transversa de Mercator). Las superficies desarrollables también son útiles en la producción de objetos y materiales, ya que se construyen doblando suavemente una plancha de material, (metal, plástico, etc). Por ejemplo, los aros de una guitarra o muchas partes del casco de un barco.

lunes, 7 de mayo de 2012

Geodésicas (II)

Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada por el arco en una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$, cuya curvatura $\kappa $ como curva en $\mathbb{R}^3$ no tiene ceros. Demostrar que las coordenadas del vector $\gamma ''(t)$ respecto de la base ortonormal $\{ \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\times \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\} $ (aquí $N$ es una aplicación de Gauss local para $S$) son del tipo $(0,k_g(t),k_n(t))$, donde $k_g(t)$ es una función diferenciable y
\[
k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))
\]
es la curvatura normal de $S$ en la dirección de $\gamma '(t)$ respecto a la aplicación de Gauss $N$. A la función $k_g(t)$ se le llama la curvatura geodésica de $\gamma $ (no depende de $N$ salvo el signo). Por tanto,
\[
\kappa ^2=\| \gamma ''\| ^2=k_g^2+k_n^2,
\]
es decir, la curvatura de $\gamma $ como curva en $\mathbb{R}^3$ tiene dos "componentes", una tangencial a $S$ (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde $S$) y otra normal a $S$ (la curvatura normal, que es extrínseca). Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:
  1. $\gamma $ es geodésica de $S$.
  2. La curvatura geodésica $k_g$ de $\gamma $ es idénticamente nula.
  3. Para cada $t$, el plano osculador a $\gamma $ en $t$ es perpendicular a $T_{\gamma (t)}S$. 
En la geometría intrínseca de S, la única curvatura "visible" de $\gamma $ es la curvatura geodésica. Esta curvatura está ligada a la curvatura de Gauss de $S$ mediante la fórmula de Gauss-Bonnet: Dado un dominio $\Omega \subset S$ compacto con frontera $C^{\infty }$, se tiene
\[
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
\]
donde $\chi (\Omega )$ es la característica de Euler de $\Omega $. Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera $C^{\infty }$ a trozos, en cuyo caso hay que añadir en el miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente $\gamma '$ al pasar por los vértices de $\gamma =\partial \Omega $. Esta última fórmula generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $\pi $: si el triángulo es esférico, esta suma es superior a $\pi $ mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que $\pi $. En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría.