k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))
es la curvatura normal de S en la dirección de \gamma '(t) respecto a la aplicación de Gauss N. A la función k_g(t) se le llama la curvatura geodésica de \gamma (no depende de N salvo el signo). Por tanto,
\kappa ^2=\| \gamma ''\| ^2=k_g^2+k_n^2,
es decir, la curvatura de \gamma como curva en \mathbb{R}^3 tiene dos "componentes", una tangencial a S (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde S) y otra normal a S (la curvatura normal, que es extrínseca). Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:
- \gamma es geodésica de S.
- La curvatura geodésica k_g de \gamma es idénticamente nula.
- Para cada t, el plano osculador a \gamma en t es perpendicular a T_{\gamma (t)}S.
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
donde \chi (\Omega ) es la característica de Euler de \Omega . Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera C^{\infty } a trozos, en cuyo caso hay que añadir en el miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente \gamma ' al pasar por los vértices de \gamma =\partial \Omega . Esta última fórmula generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es \pi : si el triángulo es esférico, esta suma es superior a \pi mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que \pi . En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría.
Por ser una base ortonormal sabemos que
ResponderEliminar\gamma''=\langle\gamma'',\gamma'\rangle\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\times\gamma'\rangle N_\gamma\times\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\rangle N_\gamma
El primer producto escalar sabemos que vale cero. El segundo se puede escribir como det(\gamma'',N_\gamma,\gamma') que es una función real de variable real diferenciable y que no depende de N salvo el signo. Por analogía la llamaremos \kappa_g Por último:
0=\langle\gamma',N_\gamma\rangle'\Rightarrow \langle\gamma'',N_\gamma\rangle=-\langle\gamma',dN_\gamma(\gamma')\rangle=\sigma_\gamma(\gamma',\gamma')
La condición de la curvatura \kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2 se tiene de inmediato, sin más que renombrar lo anterior.
Para demostrar las equivalencias:
i)\Rightarrow ii) Si \gamma es geodésica entonces \gamma'' y N_\gamma son el mismo vector salvo un múltiplo escalar, por lo tanto det(\gamma'',N_\gamma,\gamma')=0 y esta es la función \kappa_g arriba comentada.
ii)\Rightarrow iii) El plano osculador es el plano generado por el vector tangente y el normal. Es decir, en este caso es el vector generado por \gamma', \gamma''. La expresión del determinante igual a cero nos lleva a que N_\gamma,\ \gamma'' son colineales y por lo tanto el plano osculador contiene a N_\gamma y es ortogonal a T_\gamma S
iii)\Rightarrow i) Si el plano osculador (generado recordemos por \gamma',\gamma'') es ortogonal al tangente, como N_\gamma es ortogonal a T_\gamma S, entonces tiene que ser colineal con \gamma'' (es tangente en particular a \gamma'). Por lo tanto \gamma'' es ortogonal a T_\gamma S y \gamma es geodésica
Ui, al final de todo quería decir que N_\gamma es ORTOGONAL \gamma' y no tangente.
ResponderEliminarCon esto ya concluímos que N_\gamma es colineal con \gamma''
Perdón!
Todo bien, sólo que donde en la implicación "ii) -> iii)" dice "en este caso es el vector generado por" debería decir "es el plano generado por". El segundo paréntesis de la implicación iii) -> i) más bien confunde, yo lo eliminaría (incluso después de la rectificación de tu segundo comentario, que es correcto). Pero lo dejamos tal cual.
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