tag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post8760325620014439070..comments2022-03-27T16:34:17.003+02:00Comments on Geometría de Curvas y Superficies: Geodésicas (II)Joaquín Pérezhttp://www.blogger.com/profile/13691539769864072678noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-62775644196193289622012-05-10T20:54:24.349+02:002012-05-10T20:54:24.349+02:00Todo bien, sólo que donde en la implicación "...Todo bien, sólo que donde en la implicación "ii) -> iii)" dice "en este caso es el vector generado por" debería decir "es el plano generado por". El segundo paréntesis de la implicación iii) -> i) más bien confunde, yo lo eliminaría (incluso después de la rectificación de tu segundo comentario, que es correcto). Pero lo dejamos tal cual.Joaquín Pérezhttps://www.blogger.com/profile/13691539769864072678noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-85174179910415418252012-05-10T17:37:55.123+02:002012-05-10T17:37:55.123+02:00Ui, al final de todo quería decir que $N_\gamma$ e...Ui, al final de todo quería decir que $N_\gamma$ es ORTOGONAL $\gamma'$ y no tangente.<br /><br />Con esto ya concluímos que $N_\gamma$ es colineal con $\gamma''$<br /><br />Perdón!Jesús Antonio Bueno Linareshttps://www.blogger.com/profile/00656614422704856617noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-65804072863315874622012-05-10T17:32:27.525+02:002012-05-10T17:32:27.525+02:00Por ser una base ortonormal sabemos que
$\gamma&#...Por ser una base ortonormal sabemos que<br /><br />$\gamma''=\langle\gamma'',\gamma'\rangle\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\times\gamma'\rangle N_\gamma\times\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\rangle N_\gamma$<br /><br />El primer producto escalar sabemos que vale cero. El segundo se puede escribir como $det(\gamma'',N_\gamma,\gamma')$ que es una función real de variable real diferenciable y que no depende de $N$ salvo el signo. Por analogía la llamaremos $\kappa_g$ Por último:<br /><br />$0=\langle\gamma',N_\gamma\rangle'\Rightarrow \langle\gamma'',N_\gamma\rangle=-\langle\gamma',dN_\gamma(\gamma')\rangle=\sigma_\gamma(\gamma',\gamma')$<br /><br />La condición de la curvatura $\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2$ se tiene de inmediato, sin más que renombrar lo anterior.<br /><br />Para demostrar las equivalencias:<br /><br />$i)\Rightarrow ii)$ Si $\gamma$ es geodésica entonces $\gamma''$ y $N_\gamma$ son el mismo vector salvo un múltiplo escalar, por lo tanto $det(\gamma'',N_\gamma,\gamma')=0$ y esta es la función $\kappa_g$ arriba comentada.<br /><br />$ii)\Rightarrow iii)$ El plano osculador es el plano generado por el vector tangente y el normal. Es decir, en este caso es el vector generado por $\gamma', \gamma''$. La expresión del determinante igual a cero nos lleva a que $N_\gamma,\ \gamma''$ son colineales y por lo tanto el plano osculador contiene a $N_\gamma$ y es ortogonal a $T_\gamma S$<br /><br />$iii)\Rightarrow i)$ Si el plano osculador (generado recordemos por $\gamma',\gamma''$) es ortogonal al tangente, como $N_\gamma$ es ortogonal a $T_\gamma S$, entonces tiene que ser colineal con $\gamma''$ (es tangente en particular a $\gamma'$). Por lo tanto $\gamma''$ es ortogonal a $T_\gamma S$ y $\gamma$ es geodésicaJesús Antonio Bueno Linareshttps://www.blogger.com/profile/00656614422704856617noreply@blogger.com