lunes, 7 de mayo de 2012

Geodésicas (II)

Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada por el arco en una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$, cuya curvatura $\kappa $ como curva en $\mathbb{R}^3$ no tiene ceros. Demostrar que las coordenadas del vector $\gamma ''(t)$ respecto de la base ortonormal $\{ \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\times \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\} $ (aquí $N$ es una aplicación de Gauss local para $S$) son del tipo $(0,k_g(t),k_n(t))$, donde $k_g(t)$ es una función diferenciable y
\[
k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))
\]
es la curvatura normal de $S$ en la dirección de $\gamma '(t)$ respecto a la aplicación de Gauss $N$. A la función $k_g(t)$ se le llama la curvatura geodésica de $\gamma $ (no depende de $N$ salvo el signo). Por tanto,
\[
\kappa ^2=\| \gamma ''\| ^2=k_g^2+k_n^2,
\]
es decir, la curvatura de $\gamma $ como curva en $\mathbb{R}^3$ tiene dos "componentes", una tangencial a $S$ (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde $S$) y otra normal a $S$ (la curvatura normal, que es extrínseca). Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:
  1. $\gamma $ es geodésica de $S$.
  2. La curvatura geodésica $k_g$ de $\gamma $ es idénticamente nula.
  3. Para cada $t$, el plano osculador a $\gamma $ en $t$ es perpendicular a $T_{\gamma (t)}S$. 
En la geometría intrínseca de S, la única curvatura "visible" de $\gamma $ es la curvatura geodésica. Esta curvatura está ligada a la curvatura de Gauss de $S$ mediante la fórmula de Gauss-Bonnet: Dado un dominio $\Omega \subset S$ compacto con frontera $C^{\infty }$, se tiene
\[
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
\]
donde $\chi (\Omega )$ es la característica de Euler de $\Omega $. Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera $C^{\infty }$ a trozos, en cuyo caso hay que añadir en el miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente $\gamma '$ al pasar por los vértices de $\gamma =\partial \Omega $. Esta última fórmula generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $\pi $: si el triángulo es esférico, esta suma es superior a $\pi $ mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que $\pi $. En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría.

3 comentarios:

  1. Por ser una base ortonormal sabemos que

    $\gamma''=\langle\gamma'',\gamma'\rangle\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\times\gamma'\rangle N_\gamma\times\gamma'+\langle\gamma'',N_\gamma\rangle N_\gamma$

    El primer producto escalar sabemos que vale cero. El segundo se puede escribir como $det(\gamma'',N_\gamma,\gamma')$ que es una función real de variable real diferenciable y que no depende de $N$ salvo el signo. Por analogía la llamaremos $\kappa_g$ Por último:

    $0=\langle\gamma',N_\gamma\rangle'\Rightarrow \langle\gamma'',N_\gamma\rangle=-\langle\gamma',dN_\gamma(\gamma')\rangle=\sigma_\gamma(\gamma',\gamma')$

    La condición de la curvatura $\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2$ se tiene de inmediato, sin más que renombrar lo anterior.

    Para demostrar las equivalencias:

    $i)\Rightarrow ii)$ Si $\gamma$ es geodésica entonces $\gamma''$ y $N_\gamma$ son el mismo vector salvo un múltiplo escalar, por lo tanto $det(\gamma'',N_\gamma,\gamma')=0$ y esta es la función $\kappa_g$ arriba comentada.

    $ii)\Rightarrow iii)$ El plano osculador es el plano generado por el vector tangente y el normal. Es decir, en este caso es el vector generado por $\gamma', \gamma''$. La expresión del determinante igual a cero nos lleva a que $N_\gamma,\ \gamma''$ son colineales y por lo tanto el plano osculador contiene a $N_\gamma$ y es ortogonal a $T_\gamma S$

    $iii)\Rightarrow i)$ Si el plano osculador (generado recordemos por $\gamma',\gamma''$) es ortogonal al tangente, como $N_\gamma$ es ortogonal a $T_\gamma S$, entonces tiene que ser colineal con $\gamma''$ (es tangente en particular a $\gamma'$). Por lo tanto $\gamma''$ es ortogonal a $T_\gamma S$ y $\gamma$ es geodésica

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  2. Ui, al final de todo quería decir que $N_\gamma$ es ORTOGONAL $\gamma'$ y no tangente.

    Con esto ya concluímos que $N_\gamma$ es colineal con $\gamma''$

    Perdón!

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  3. Todo bien, sólo que donde en la implicación "ii) -> iii)" dice "en este caso es el vector generado por" debería decir "es el plano generado por". El segundo paréntesis de la implicación iii) -> i) más bien confunde, yo lo eliminaría (incluso después de la rectificación de tu segundo comentario, que es correcto). Pero lo dejamos tal cual.

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