domingo, 13 de mayo de 2012

Geodésicas de una superficie de revolución

En esa entrada indicaremos cómo determinar las geodésicas de la superficie $S$ obtenida al revolucionar una curva $\alpha (t)=(x(t),0,z(t))$, $t\in I$, alrededor del eje $z$. Como en otras ocasiones, supondremos que $I$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ y que $x(t)>0$ para no tener singularidades en $S$. Además, podemos suponer que $\alpha $ está parametrizada por el arco (eso no cambia el conjunto $S$). Llamaremos $'=\frac{d}{dt}$.

La parametrización estándar de $S$ es $X(t,\theta )=\left( x(t)\cos \theta ,x(t)\sin \theta ,z(t)\right) $.
Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a $X$:
\[
E=1,\qquad F=0,\qquad G(t,\theta )=x(t)^2.
\]
Ahora usamos la entrada "Geodésicas (I)" para escribir el sistema de EDO a resolver para encontrar las geodésicas de $S$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}+\Gamma _{11}^1(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^1(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^1(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\\
\ddot{\theta }+\Gamma _{11}^2(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^2(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^2(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\end{array}
\right.
\]
donde la geodésica buscada se escribe $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ (o sea, queremos determinar $t(u)$ y $\theta (u)$), $\dot{}=\frac{d}{du}$ y los $\Gamma _{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel de $S$ respecto a $X$. En nuestro caso, es fácil comprobar que estos símbolos son
\[
\Gamma _{12}^2(X(t,\theta ))=\frac{x'(t)}{x(t)},\quad \Gamma _{22}^1(X(t,\theta ))=-x(t)x'(t),
\]
y el resto de símbolos de Christoffel son cero. Por tanto, nuestro sistema de EDO se escribe
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}-x(t)x'(t)(\dot{\theta})^2=0,
\\
\ddot{\theta }+2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}\dot{\theta}=0,
\end{array}
\right.
\]
La primera consecuencia del sistema anterior es que las generatrices de $S$ son geodésicas, si se parametrizan proporcionalmente al arco. Esto determina las geodésicas $\gamma $ de $S$ en las que $\theta $ es constante, y quitándonos este caso, la unicidad de las geodésicas nos permite suponer que nuestra geodésica $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ cumple que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros.

Hemos visto que todas las generatrices (meridianos) son geodésicas de $S$. Así que tiene sentido preguntarse:

¿Qué meridianos (es decir, curvas $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$) son geodésicas?

Del sistema anterior se deduce que $-x(t_0)x'(t_0)(\dot{\theta})^2=0$, y como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, deducimos que $x'(t_0)=0$. Recíprocamente, si $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ cumple $x'(t_0)=0$, entonces la primera ecuación del sistema se satisface trivialmente, mientras que la segunda se satisface siempre que $\theta (u)$ sea una función afín de $u$. Por tanto, un meridiano $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ es geodésica de $S$ si y sólo si $x'(t_0)=0$ (es decir, $\alpha '(t_0)$ es vertical, o equivalentemente, la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico).

Antes de estudiar las geodésicas de $S$ que no sean meridianos ni paralelos, es conveniente deducir la relación de Clairaut: Recordemos que sobre una geodésica $\gamma (u)$, la velocidad tiene  norma constante. Por tanto,
\[
c^2=\| \dot{\gamma } \| ^2=(\dot{t})^2+x^2(t)(\dot{\theta })^2,\qquad (1)
\]
para cierta constante $c\geq 0$ (podemos suponer $c>0$ ya que si $c=0$ entonces $\gamma $ es un punto). Por otro lado,
\[
\frac{d}{du}[x^2(t(u))\dot{\theta }(u)]=2xx'\dot{t}\dot{\theta }+x^2\ddot{\theta }=0,
\]
sin más que sustituir la segunda de las ecuaciones del sistema de las geodésicas. Eso nos dice que
\[
x^2(t(u))\dot{\theta }(u)=d\in \mathbb{R} \quad \mbox{(constante).}
\]
Si calculamos el ángulo $\varphi =\varphi (u)$ que forma la geodésica $\gamma $ con cada paralelo que la corte, obtenemos
\[
\cos \varphi (u)=\frac{\langle \dot{\gamma },X_{\theta }\rangle }{\| \dot{\gamma }\| \| X_{\theta }\| }
=\frac{\dot{\theta }x^2}{c\, x}=\frac{\dot{\theta }x}{c},
\]
Luego al multiplicar $\cos \varphi (u)$ por la distancia de $\gamma (u)$ al eje de revolución nos queda constante: ésta es la relación de Clairaut.
\[
x(t(u))\cos \varphi (u)=\frac{x^2(t(u))\dot{\theta }(u)}{c}=d/c,
\]
Notemos que si una geodésica $\gamma (u)$ tiene un punto $\gamma (u_0)$ con tangente horizontal, entonces o bien el paralelo que pasa por $\gamma (u_0)$ es geodésica (esto ocurre si y sólo si la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico, y en tal caso por unicidad de geodésicas $\gamma $ coincide con ese paralelo), o bien el paralelo que pasa por
$\gamma (u_0)$ no es geodésica, pero en tal caso $\cos \varphi (u)=1$. Por la relación de Clairaut,
los puntos $\gamma (u)$ en los que la última posibilidad ocurre cumplen $x(t(u))=d/c$, luego esta última posibilidad sólo ocurre en puntos aislados de $\gamma $.

Vamos ya a determinar las geodésicas de $S$ que no son paralelos ni meridianos: Como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, la segunda ecuación del sistema de las geodésicas se puede escribir
\[
\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}= -2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}
\]
o equivalentemente,
\[
\frac{d}{du}[\log \dot{\theta }(u)]=-2\frac{d}{du}[\log(x(t(u)))].
\]
Integrando,
\[
\log \dot{\theta }(u)=-2 \log(x(t(u))) + C,
\]
para cierta $C\in \mathbb{R}$. Por tanto,
\[
\dot{\theta }(u)=\frac{e^C}{x(t(u))^2},\qquad (2)
\]
o bien
\[
\theta (u)=\int ^u\frac{e^C}{x(t(u))^2}\, du. \qquad (3)
\]
La ultima fórmula nos dice que si obtenemos $t(u)$ entonces podremos sustituir en dicha fórmula para deducir $\theta (u)$. O dicho de otra forma, sólo necesitamos conocer $t(u)$.

A continuación veremos que $t(u)$ puede obtenerse integrando una EDO de primer orden. Sustituímos (2) en (1):
\[
c^2=(\dot{t}(u))^2+\frac{e^{2C}}{x(t(u))^2},
\]
luego
\[
\dot{t}(u)=\pm \frac{\sqrt{c^2x(t(u))^2-e^{2C}}}{x(t(u))},\qquad (4)
\]
que es una EDO de primer orden. Una vez resuelta (4) podremos sustituir en (3) y con ello
obtener $\gamma (u)$. Pero claro, en general no podemos asegurar encontrar EXPLÍCITAMENTE la solución general de (4). Si no estamos interesados en cómo se recorra $\gamma (u)$ sino sólo en su traza, podremos prescindir del parámetro $u$, dando la curva $\gamma $ en ecuaciones implícitas $\theta =\theta (t)$ respecto a las coordenadas $t,\theta $ (esto podrá hacerse localmente siempre que $\dot{t}(u)\neq 0$, recordemos que esto puede suponerse salvo en puntos aislados). Derivando implícitamente,
\[
\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{du}\frac{du}{dt}=\dot{\theta }(u)\frac{1}{\dot{t}(u)}=
\pm \frac{e^C}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}},
\]
que puede integrarse directamente:
\[
\theta (t)=\pm e^C\int ^t\frac{dt}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}}+\mbox{cte.}
\]

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