Geodésicas (III)

En clase hemos visto el resultado de que una isometría local lleva geodésicas en geodésicas. Esto permite encontrar las geodésicas de un cilindro o de un cono, a partir de las geodésicas del plano que son las líneas rectas. Pero para el caso del cono, tendremos que construir una isometría local de un trozo de plano en un cono. Ese es el objetivo es esta entrada.

Consideremos un cono (la mitad del mismo, para que sea una superficie)
$$
C_{\delta }=\{ p=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ | \ z^2=\delta ^2(x^2+y^2), \ z > 0\} ,
$$
donde $\delta > 0$. Si pensamos en $x,y$ con coordenadas polares
\[
x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta ,
\]
entonces
\[
\| p\| ^2=\rho ^2+z^2=(1+\delta ^2)\rho ^2,
\]
Si desarrollamos el cono sobre un plano con coordenadas cartesianas $(u,v)$ de forma que el vértice se aplique en el origen, entonces las generatrices del cono se aplicarán en las rectas que parten del origen. En coordenadas polares $(r,\alpha )$ (es decir, $u=r\cos \alpha$, $v=r\sin \alpha $), tendremos que el módulo $r$ será la distancia en la generatriz del cono al origen:
\[
r=\sqrt{1+\delta ^2}\rho ,
\]
y el argumento $\alpha $ en el plano $(u,v)$ recorrerá un sector de amplitud menor que $2\pi $ (pensar en un cucurucho que desenrollamos). Eso quiere decir que la relación entre el argumento $\theta $ (que se mueve en $[0,2\pi ]$) y $\alpha $ es lineal, pongamos
\[
\alpha =\mu \theta
\]
con $\mu \in (0,1)$ a determinar. O sea, a un punto del $(u,v)$-plano con coordenadas polares $(r,\alpha )$ le hacemos corresponder el punto del cono
\[
G(r,\alpha )=(x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\delta \rho )=
\frac{r}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta )
\]
Pero queremos una isometría local del $(u,v)$-plano en el cono $C_{\delta }$. Es decir, debemos componer $G$ con la "inversa" de las coordenadas polares $F(r,\alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=(u,v)$ (ponemos comillas porque dicha inversa no tiene sentido global, sino sólo localmente y fuera del origen del $(u,v)$ plano. Haremos la cuenta localmente, pero aún así denotaremos $F^{-1}(u,v)=(r,\alpha )$ a dicha inversa local).

Queremos ajustar el parámetro $\mu $ de forma que $G\circ F^{-1}=(G\circ F^{-1})(u,v)$ sea la isometría local que estamos buscando, de un abierto del $(u,v)$ plano en el cono $C_{\delta }$. Esto vendrá dado por que las derivadas parciales de $G\circ F^{-1}$ cumplan
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\| ^2=\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=1,\quad \langle (G\circ F^{-1})_u,
(G\circ F^{-1})_v\rangle =0.
\]
Así que imponemos las ecuaciones anteriores. Por la regla de la cadena,
\[
(G\circ F^{-1})_u=r_uG_r+\alpha _uG_{\alpha }, \quad
(G\circ F^{-1})_v=r_vG_r+\alpha _vG_{\alpha }. \qquad (1)
\]
Ahora vamos a calcular todo lo anterior. Por un lado,
\[
\left\{ \begin{array}{l}
1=u_u=(r\cos \alpha )_u=r_u\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _u,
\\
0=v_u=(r\sin \alpha )_u=r_u\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _u,
\end{array}
\right.
\]
y resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales, obtenemos
\[
r_u=\cos \alpha ,\quad \alpha _u=-\frac{\sin \alpha }{r}.
\]
Razonando análogamente obtenemos 
\[
\left\{ \begin{array}{l}

0=u_v=(r\cos \alpha )_v=r_v\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _v,
\\
1=v_v=(r\sin \alpha )_v=r_v\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _v,
\end{array}
\right.
\]
de donde
\[
r_v=\sin \alpha ,\quad \alpha _v=\frac{\cos \alpha }{r}.
\]
Por otro lado, derivando parcialmente en $G(r,\alpha )$ obtenemos
\[
G_r=\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta ),
\]
\[
G_{\alpha }=\frac{r}{\mu \sqrt{1+\delta ^2}}(-\sin (\alpha /\mu ),\cos (\alpha /\mu ),0),
\]
luego
\[
\| G_r\|^2=1,\quad \| G_{\alpha }\| ^2=\frac{r^2}{\mu ^2(1+\delta ^2)},\quad
\langle G_r,G_{\alpha }\rangle =0.
\]
Sustituyendo en (1) tenemos
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\|^2=\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\langle (G\circ F^{-1})_u,(G\circ F^{-1})_v\rangle =\sin \alpha \cos \alpha \left(
1- \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)}\right) ,
\]
luego tomando $\mu =\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}$ tenemos que $G\circ F^{-1}$ es una isometría local.

El cono es un ejemplo de superficie desarrollable,  en el sentido de que podemos "extenderla" en un trozo de plano sin distorsionarla. Con más rigor, una superficie desarrollable $S$ es aquella en la que cada punto admite un entorno donde hay definida una isometría con imagen un abierto del plano. Esto es equivalente a que la curvatura de Gauss de $S$ sea idénticamente cero ($S$ es llana). Todas las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$ son regladas. El Teorema de Stoker da la lista competa de las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$:

• Cilindros (no necesariamente circulares), es decir, $\gamma \times \mathbb{R}$ donde $\gamma $ es una curva plana,
• Conos (no necesariamente circulares)),
• Planos,
• Las superficies que se parametrizan de la forma $X(t,s)=\gamma (t)+s\gamma '(t)$, donde $\gamma $ es una curva en $\mathbb{R}^3$.

Por definición, las superficies desarrollables son también aquellas de las que pueden trazarse mapas (locales) sin distorsión alguna, por lo que tienen interés en cartografía: por ejemplo, en muchas ocasiones se usa una proyección cartográfica de una región terrestre en una superficie desarrollable, para después desarrollar la superficie en una región del plano (un ejemplo es la proyección transversa de Mercator). Las superficies desarrollables también son útiles en la producción de objetos y materiales, ya que se construyen doblando suavemente una plancha de material, (metal, plástico, etc). Por ejemplo, los aros de una guitarra o muchas partes del casco de un barco.