miércoles, 28 de marzo de 2012

Gauss

Hemos visto en clase una primera idea, no demasiado precisa, de qué diferencia la geometría intrínseca de la extrínseca: sólo tener en cuenta la primera forma fundamental (equivalentemente, longitudes de curvas o áreas de recintos en una superficie) frente a tener en cuenta cómo la superficie se curva en el espacio (segunda forma fundamental).

El ejemplo más importante de resultado de geometría intrínseca es el Teorema Egregium de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1825), que viene a decir que si deformamos una superficie preservando las distancias entre sus puntos, entonces conservaremos la curvatura de Gauss. En particular, sólo podrán trazarse mapas planos sin distorsiones de superficies llanas, pero no de la tierra, ni siquiera de un trozo muy pequeño de ésta.

Este resultado de Gauss es sólo uno de tantos que dejó en matemáticas. No es casualidad que se la haya llamado el "Príncipe de las Matemáticas", y que se le considere el mayor matemático desde los tiempos de Euclides. Quizás nadie haya influido como él en el desarrollo posterior de las matemáticas, a las que el propio Gauss llamaba "la reina de las ciencias".

Gauss nació en un pueblo de la Baja Sajonia (Alemania), en una familia humilde. Su madre era analfabeta, y no llegó a anotar la fecha de nacimiento de Gauss ni a tener documento alguno de ello. Pero sí era bastante religiosa, y recordaba que dio a luz a su hijo Carl un miércoles, ocho días antes de la fiesta de la Ascención. El propio Gauss resolvió el problema de calcular su fecha de nacimiento, ideando un método para calcular fechas pasadas y futuras (calendario perpetuo).

Ni que decir tiene que Gauss fue un niño prodigio, y hay varias historias alrededor (aunque no sabemos muy bien cuáles son ciertas). Se dice que con tres años corrigió mentalmente y sin error en sus cálculos a su padre, mientras éste hacía un cálculo de sus finanzas. Otra historia famosa cuenta que en la escuela primaria y como castigo por haberse portado mal, su maestro JG Büttner, le impuso a Gauss la siguiente tarea: suma la lista de números naturales del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en cuestión de segundos, ante el asombro de su maestro y sus ayudantes (se cree que Gauss usó para ello el siguiente razonamiento: si sumamos pares de términos de la serie, empezando por extremos opuestos de la lista, producirán siempre la misma suma parcial: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, por lo que en total tenemos 50 × 101 = 5050).

Estas y otras historias llamaron la atención del Duque de Braunschweig, que le financió sus estudios desde los 15 hasta los 21 años. Sus mejores trabajos en teoría de numeros, que han modelado esta disciplina hasta hoy, están en el libro Disquisitiones Arithmeticae, que escribió cuando tenía 21 años, recién acabados sus estudios en la Universidad de Gottingen. En este campo, podemos citar (aunque quizás no sea el más importante de sus descubrimientos) un resultado que llevó a una anécdota: Gauss probó que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat $2^{2^n}+1$, es constructible con regla y compás (la constructibilidad de polígonos era un problema abordado desde los antiguos griegos). Tan orgulloso estaba Gauss de este descubrimiento que quiso que su tumba tuviera grabado un polígono regular de $17=2^{2^2}+1$ lados. Sin embargo, el encargado de esculpir la lápida se negó a hacerlo porque este polígono se parece demasiado a una circunferencia como para poder diferenciarlos en la lápida.

Mucho más importante es el Teorema Fundamental del Algebra, también debido a Gauss (aunque en su demostración original, Gauss usaba implícitamente el Teorema de la curva de Jordan, que no había sido rigurosamente demostrado aún). No obstante, Gauss ideó otras tres demostraciones de este importante resultado posteriormente.

 Otro campo en el que hizo importantes descubrimientos fue la astronomía. En 1801, el astrónomo italiano Piazzi decubrió el asteroide Ceres. Piazzi lo siguió con su telescopio durante 3 meses, hasta que su trayectoria fue ocultada por la del Sol. Según los cálculos de Piazzi, cuando el asteroide debió reaparecer no lo hizo, lo que mostraba algún fallo en los cálculos de su trayectoria. Y es que los datos obtenidos por Piazzi y las matemáticas desarrolladas en aquella época no eran suficientes para trazar la trayectoria del asteroide. Gauss se interesó por el problema, y en 3 meses de trabajo predijo la posición del asteroide mediante un novedoso método para determinar una cónica en el espacio, teniendo como datos un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (tres líneas de visión desde la Tierra), de las que se sabe los tiempos en que se han determinado (a partir de este dato se podían calcular las longitudes de los arcos de cónica correspondientes, por la ley de Kepler). Este método produce una ecuación de grado 8, que Gauss pudo resolver. Este problema y su solución llevó a Gauss a interesarse por el movimiento de los cuerpos celestes, lo que a la larga le supuso ser nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio astronómico de Gottingen. Durante sus investigaciones en este campo introdujo la constante gravitacional de Gauss, descubrió el método de los mínimos cuadrados para minimizar el error en las interpolaciones necesarias en Astronomía, introdujo la distribución Gaussiana (campana de Gauss), entre otros.

En Geometría, y además del Teorema Egregium, Gauss afirmó haber descubierto geometrías no Euclídeas pero nunca publicó este descubrimiento, que fue finalmente publicado por Bolyai. Es curiosa una carta que Gauss escribió a Bolyai: "Alabar sus descubrimientos equivaldría a elogiarme a mí mismo. Todo el contenido de su obra ... coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años". Otro hecho resaltable es que Gauss asistió a la famosa habilitación de Riemann donde este último sentó las bases de la Geometría Riemanniana actual. Cuenta el físico Weber, amigo de Gauss, que éste, de camino a casa, le dijo emocionado que lo que había explicado Riemann cambiaría la geometría en lo sucesivo, y así fue.

En Física, Gauss hizo importantes descubrimientos en electromagnetismo. A él se deben las llamadas Leyes de Kirchoff, el telégrafo electromecánico, y métodos prácticos de cálculo de la intensidad del campo elctromagnético terrestre (que han estado en uso hasta bien avanzado el siglo XX). También trabajó en óptica: estudió las leyes de paralaje y formuló las leyes que gobiernan las lentes.

En fin, aunque algunas de estas curiosidades no esté contrastada, no hay duda de que Gauss se encuentra entre los tres mejores matemáticos de la historia, junto a  Euclides y Newton. El famoso viajero Alexander von Humboldt preguntó a Laplace: "¿Quién es el mayor matemático de Alemania?" a lo que Lapace respondió "Pfaff" (famoso por estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico). Asombrado, von Humboldt replicó: "¿Y qué me dice de Gauss?"   La respuesta de de Laplace fue: "Oh, Gauss es el mayor matemático del mundo".


Como última anécdota (algo macabra), incluiremos que tras su muerte, el cerebro de Gauss fue preservado y estudiado, y que se encontraron profundos surcos en su materia gris, lo que a principios del siglo XX se interpretó como una explicación de su genio sin igual.


lunes, 26 de marzo de 2012

Prácticas de ordenador para el segundo cuatrimestre

Os pongo abajo la información correspondiente a prácticas de ordenador de Geometría de Curvas y Superficies, del segundo cuatrimestre. Resalto que la primera práctica es MAÑANA.

Práctica 4: Curvaturas de una superficie
Día: 27 de marzo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6

Práctica 5: Geometría intrínseca de superficies
Día: 22 de mayo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6

domingo, 25 de marzo de 2012

Novedades en la página de la asignatura

Ya están disponibles en la página de la asignatura las soluciones de los problemas del capítulo 3 y la teoría del capítulo 4, que empezaremos a ver mañana o pasado.

jueves, 8 de marzo de 2012

Inversiones y geometría conforme

En clase hemos estudiado la inversión de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo respecto a la esfera unidad. Esta inversión puede hacerse respecto a cualquier esfera (¿podrías dar su forma explícita?), y generaliza en cierta forma la reflexión en un plano afín.

Esta idea de "unificar" esferas y planos, y por tanto reflexiones respecto a éstos, es la base de la geometría conforme. En geometría lineal (también llamada álgebra lineal), las transformaciones que permiten identificar objetos son los isomorfismos de espacios vectoriales. En geometría afín, son afinidades. En geometría métrica, son las isometrías. Así podemos seguir con topología (los homeomorfismos), geometría diferencial (los difeomorfismos) etc. En el caso de la geometría conforme,  no hacemos distinciones de objetos si entre ellos podemos establecer un  difeomorfismo que conserve ángulos (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos conformes). Un ejemplo de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo es una reflexión respecto a un plano, y otro de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo es la inversión respecto a una esfera centrada en el origen.

En dimensión 2, las aplicaciones conformes (que conservan ángulos) son exactamente las aplicaciones holomorfas (cuando conservan la orientación) y las antiholomorfas (cuendo la invierten). Y hay una enorme variedad de difeomorfismos conformes entre parejas de abiertos de $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$: de hecho, un teorema muy importante (debido a Riemann) dice que si $A$ es un abierto conexo y simplemente conexo de $\mathbb{C}$, entonces o bien $A=\mathbb{C}$ o existe un difeomorfismo conforme de $A$ en el disco unidad abierto $\{ z\in
\mathbb{C}\ : \ |z|<1\} $.

En dimensión $n\geq 3$, las cosas cambian drásticamente: otro teorema famoso, el teorema de Liouville, asegura que los únicos difeomorfismos conformes entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ son movimientos rígidos, homotecias, inversiones respecto de $(n-1)$-esferas, y composiciones de éstos. Esta "escasez" de difeomorfismos conformes en dimensión alta hace que un equivalente al teorema de Riemann en este caso es imposible: existen muchas parejas de abiertos simplemente conexos de $\mathbb{R}^3$ entre los que no es posible establecer un difeomorfismo conforme.

Dimensions

Esta mañana ha salido en clase los videos de Étienne Ghys "Dimensions". Realmente vale la pena echarles un vistazo. Os dejo el enlace a la versión en español, aquí. Tenéis que hacer click en la línea inferior, en "Español". Que los disfrutéis.

lunes, 5 de marzo de 2012

Longitud y área (II): Las paradojas de Schwarz y de la pintura.

En esta entrada seguiremos avanzando sobre si es posible definir el área de una superficie mediante aproximación por superficies poliédricas o por otros métodos.

LA PARADOJA DE SCHWARZ.

Durante gran parte del siglo XIX, el concepto de área de una superficie aceptado comúnmente se basaba en aproximaciones poliédricas, atribuído al matemático parisino Serret (1819-1885), famoso por su teoría junto con Frenet del triedro usado para representar curvas en el espacio. A dichas aproximaciones poliédricas no se les exigían convexidad (lo cual es razonable, de igual forma que no se exige convexidad a las aproximaciones poligonales de una curva para calcular su longitud). Pero en 1880, el matemático alemán Schwarz (1843-1921) descubrió que había una deficiencia en esta definición de área, aunque no publicó un contraejemplo hasta 1883. En 1881, Peano también advirtió el problema de la definición y sorprendentemente, encontró el mismo contraejemplo que Schwarz: es posible aproximar un cilindro circular recto por una sucesión de superficies poliédricas que dependen de dos parámetros n y m, de forma que si hacemos tender n,m a infinito de distintas maneras... ¡ obtenemos distintos límites en las áreas de las superficies de la sucesión !


A continuación os dejo un enlace a un archivo pdf con la explicación de la paradoja de Schwarz (en inglés). Esta misma paradoja puede encontrarse en una versión para Mathematica, en este enlace.

El problema de la definición de área por aproximaciones sucesivas poliédricas se puede subsanar exigiendo convexidad a las aproximaciones, gracias al siguiente resultado:

Teorema: Sean $\Omega _1\subset \Omega _2$ dos dominios convexos y compactos de $\mathbb{R}^3$ con fronteras regulares. Entonces,
Volumen $(\Omega _1)\leq  \mbox{Volumen}(\Omega _2)$   y   Area $(\partial \Omega _1) ≤ \mbox{Area}(\partial \Omega _2)$.

LA PARADOJA DE LA PINTURA.

Existen otras aproximaciones al concepto de área de una superficie $S$, igualmente satisfactorias pero que nos indican que hay que cuidar especialmente la clase de superficies para las que se define el área. Una de ellas, basada en la integración de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$ y en el Teorema de Fubini, Consiste en calcular el volumen de un entorno tubular $S(\varepsilon )$ de radio $\varepsilon >0$ de la superficie, definido por
\[
S(\varepsilon )=\{ p+tN_p\ | \ p\in S, |t|<\varepsilon \}
\]
(aquí $N$ es una aplicación de Gauss para $S$), dividir dicho volumen por la anchura $2\varepsilon $ del entorno tubular y tomar $\varepsilon $ tendiendo a cero:
\[
\mbox{Area}(S)=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon }\mbox{Volumen}(S(\varepsilon)).
\]
Por supuesto, necesitaremos que tanto $N$ como Volumen$(S(\varepsilon))$ y el límite anterior existan (todo esto se tiene, por ejemplo, si $S$ es una superficie regular compacta). Intuitivamente, la definición anterior “es como” pintar la superficie $S$ (recubrirla de una capa tridimensional muy fina): la cantidad de pintura empleada para ello aproxima el área de la superficie. Sin embargo, estamos aproximando área por volumen, que son magnitudes de distintos órdenes. Esto y el límite de la definición anterior producen problemas como el siguiente:

Consideremos la superficie $S$ obtenida el revolucionar alrededor del eje $z$ de $\mathbb{R}^3$ la curva $z = 1/x$, con $x\in (0,1)$. Puede comprobarse que el área de $S$ es infinita, pero ¡ el volumen de la región que determina por encima del plano ${z=0}$ y por debajo de $S$ es finito !

Es decir, podemos llenar la región completamente con una cantidad finita de pintura, pero si queremos pintar la superficie necesitaremos una cantidad infinita de pintura.

Terminaremos recordando la definición de área de una superficie, tal y como la entendemos actualmente. Vimos en la entrada "Jacobiano de una aplicación entre superficies" de este mismo blog que la definición de la integral de una función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre el abierto $X(U)$ imagen de una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$ es
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]

Entonces, el área de $X(U)$ se define como la integral de la función 1, es decir,
\[
\mbox{Area}(X(U))=\int _{X(U)}dA=\int _U\| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
lo cual define el área de $S$ si la superficie está recubierta por una sola parametrización. Esta última dificultad puede siempre salvarse de diversas formas. Una de ellas es usando "particiones de la unidad", un concepto que no veremos aquí. La otra es usar que la integral de Lebesgue "no distingue conjuntos de medida nula": el área no distinguirá a $S$ de un subconjunto suyo siempre que la diferencia sea despreciable desde el punto de vista de la integración de Lebesgue. Por ejemplo, cuando dicha diferencia sea de medida nula. Por tanto, el resultado siguiente nos permite definir el área de una superficie:


Teorema: Dada una superficie regular $S\subset \mathbb{R}^3$, existe una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$, tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$.