En esta entrada seguiremos avanzando sobre si es posible definir el
área de una superficie mediante aproximación por superficies poliédricas
o por otros métodos.
LA PARADOJA DE SCHWARZ.
Durante
gran parte del siglo XIX, el concepto de área de una superficie
aceptado comúnmente se basaba en aproximaciones poliédricas, atribuído
al matemático parisino Serret
(1819-1885), famoso por su teoría junto con Frenet del triedro usado
para representar curvas en el espacio. A dichas aproximaciones
poliédricas no se les exigían convexidad (lo cual es razonable, de igual
forma que no se exige convexidad a las aproximaciones poligonales de
una curva para calcular su longitud). Pero en 1880, el matemático alemán
Schwarz (1843-1921) descubrió que había una deficiencia en esta
definición de área, aunque no publicó un contraejemplo hasta 1883. En
1881, Peano también advirtió el problema de la definición y
sorprendentemente, encontró el mismo contraejemplo que Schwarz: es
posible aproximar un cilindro circular recto por una sucesión de
superficies poliédricas que dependen de dos parámetros n y m, de forma
que si hacemos tender n,m a infinito de distintas maneras... ¡ obtenemos
distintos límites en las áreas de las superficies de la sucesión !
A continuación os dejo un enlace a un archivo pdf
con la explicación de la paradoja de Schwarz (en inglés). Esta misma
paradoja puede encontrarse en una versión para Mathematica, en este enlace.
El problema de la definición de área por aproximaciones sucesivas poliédricas se puede subsanar exigiendo convexidad a las aproximaciones, gracias al siguiente resultado:
Teorema:
Sean $\Omega _1\subset \Omega _2$ dos dominios convexos y compactos de
$\mathbb{R}^3$ con fronteras regulares. Entonces,
Volumen $(\Omega _1)\leq \mbox{Volumen}(\Omega _2)$ y Area $(\partial \Omega _1) ≤ \mbox{Area}(\partial \Omega _2)$.
LA PARADOJA DE LA PINTURA.
Existen
otras aproximaciones al concepto de área de una superficie $S$,
igualmente satisfactorias pero que nos indican que hay que cuidar
especialmente la clase de superficies para las que se define el área.
Una de ellas, basada en la integración de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$ y
en el Teorema de Fubini, Consiste en calcular el volumen de un entorno
tubular $S(\varepsilon )$ de radio $\varepsilon >0$ de la
superficie, definido por
\[
S(\varepsilon )=\{ p+tN_p\ | \ p\in S, |t|<\varepsilon \}
\]
(aquí
$N$ es una aplicación de Gauss para $S$), dividir dicho volumen por la
anchura $2\varepsilon $ del entorno tubular y tomar $\varepsilon $
tendiendo a cero:
\[
\mbox{Area}(S)=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon }\mbox{Volumen}(S(\varepsilon)).
\]
Por
supuesto, necesitaremos que tanto $N$ como Volumen$(S(\varepsilon))$ y
el límite anterior existan (todo esto se tiene, por ejemplo, si $S$ es
una superficie regular compacta). Intuitivamente, la definición anterior
“es como” pintar la superficie $S$ (recubrirla de una capa
tridimensional muy fina): la cantidad de pintura empleada para ello
aproxima el área de la superficie. Sin embargo, estamos aproximando área
por volumen, que son magnitudes de distintos órdenes. Esto y el límite
de la definición anterior producen problemas como el siguiente:
Consideremos
la superficie $S$ obtenida el revolucionar alrededor del eje $z$ de
$\mathbb{R}^3$ la curva $z = 1/x$, con $x\in (0,1)$. Puede comprobarse
que el área de $S$ es infinita, pero ¡ el volumen de la región que
determina por encima del plano ${z=0}$ y por debajo de $S$ es finito !
Es
decir, podemos llenar la región completamente con una cantidad finita
de pintura, pero si queremos pintar la superficie necesitaremos una
cantidad infinita de pintura.
Terminaremos recordando
la definición de área de una superficie, tal y como la entendemos
actualmente. Vimos en la entrada "Jacobiano de una aplicación entre
superficies" de este mismo blog que la definición de la integral de una
función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre el abierto $X(U)$ imagen de una
parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$
es
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
Entonces, el área de $X(U)$ se define como la integral de la función 1, es decir,
\[
\mbox{Area}(X(U))=\int _{X(U)}dA=\int _U\| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
lo
cual define el área de $S$ si la superficie está recubierta por una
sola parametrización. Esta última dificultad puede siempre salvarse de
diversas formas. Una de ellas es usando "particiones de la unidad", un
concepto que no veremos aquí. La otra es usar que la integral de
Lebesgue "no distingue conjuntos de medida nula": el área no distinguirá
a $S$ de un subconjunto suyo siempre que la diferencia sea despreciable
desde el punto de vista de la integración de Lebesgue. Por ejemplo,
cuando dicha diferencia sea de medida nula. Por tanto, el resultado
siguiente nos permite definir el área de una superficie:
Teorema:
Dada una superficie regular $S\subset \mathbb{R}^3$, existe una
parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ de $S$,
tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$.
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