domingo, 13 de mayo de 2012

Geodésicas de una superficie de revolución

En esa entrada indicaremos cómo determinar las geodésicas de la superficie $S$ obtenida al revolucionar una curva $\alpha (t)=(x(t),0,z(t))$, $t\in I$, alrededor del eje $z$. Como en otras ocasiones, supondremos que $I$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ y que $x(t)>0$ para no tener singularidades en $S$. Además, podemos suponer que $\alpha $ está parametrizada por el arco (eso no cambia el conjunto $S$). Llamaremos $'=\frac{d}{dt}$.

La parametrización estándar de $S$ es $X(t,\theta )=\left( x(t)\cos \theta ,x(t)\sin \theta ,z(t)\right) $.
Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a $X$:
\[
E=1,\qquad F=0,\qquad G(t,\theta )=x(t)^2.
\]
Ahora usamos la entrada "Geodésicas (I)" para escribir el sistema de EDO a resolver para encontrar las geodésicas de $S$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}+\Gamma _{11}^1(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^1(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^1(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\\
\ddot{\theta }+\Gamma _{11}^2(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^2(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^2(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\end{array}
\right.
\]
donde la geodésica buscada se escribe $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ (o sea, queremos determinar $t(u)$ y $\theta (u)$), $\dot{}=\frac{d}{du}$ y los $\Gamma _{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel de $S$ respecto a $X$. En nuestro caso, es fácil comprobar que estos símbolos son
\[
\Gamma _{12}^2(X(t,\theta ))=\frac{x'(t)}{x(t)},\quad \Gamma _{22}^1(X(t,\theta ))=-x(t)x'(t),
\]
y el resto de símbolos de Christoffel son cero. Por tanto, nuestro sistema de EDO se escribe
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}-x(t)x'(t)(\dot{\theta})^2=0,
\\
\ddot{\theta }+2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}\dot{\theta}=0,
\end{array}
\right.
\]
La primera consecuencia del sistema anterior es que las generatrices de $S$ son geodésicas, si se parametrizan proporcionalmente al arco. Esto determina las geodésicas $\gamma $ de $S$ en las que $\theta $ es constante, y quitándonos este caso, la unicidad de las geodésicas nos permite suponer que nuestra geodésica $\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))$ cumple que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros.

Hemos visto que todas las generatrices (meridianos) son geodésicas de $S$. Así que tiene sentido preguntarse:

¿Qué meridianos (es decir, curvas $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$) son geodésicas?

Del sistema anterior se deduce que $-x(t_0)x'(t_0)(\dot{\theta})^2=0$, y como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, deducimos que $x'(t_0)=0$. Recíprocamente, si $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ cumple $x'(t_0)=0$, entonces la primera ecuación del sistema se satisface trivialmente, mientras que la segunda se satisface siempre que $\theta (u)$ sea una función afín de $u$. Por tanto, un meridiano $\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))$ es geodésica de $S$ si y sólo si $x'(t_0)=0$ (es decir, $\alpha '(t_0)$ es vertical, o equivalentemente, la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico).

Antes de estudiar las geodésicas de $S$ que no sean meridianos ni paralelos, es conveniente deducir la relación de Clairaut: Recordemos que sobre una geodésica $\gamma (u)$, la velocidad tiene  norma constante. Por tanto,
\[
c^2=\| \dot{\gamma } \| ^2=(\dot{t})^2+x^2(t)(\dot{\theta })^2,\qquad (1)
\]
para cierta constante $c\geq 0$ (podemos suponer $c>0$ ya que si $c=0$ entonces $\gamma $ es un punto). Por otro lado,
\[
\frac{d}{du}[x^2(t(u))\dot{\theta }(u)]=2xx'\dot{t}\dot{\theta }+x^2\ddot{\theta }=0,
\]
sin más que sustituir la segunda de las ecuaciones del sistema de las geodésicas. Eso nos dice que
\[
x^2(t(u))\dot{\theta }(u)=d\in \mathbb{R} \quad \mbox{(constante).}
\]
Si calculamos el ángulo $\varphi =\varphi (u)$ que forma la geodésica $\gamma $ con cada paralelo que la corte, obtenemos
\[
\cos \varphi (u)=\frac{\langle \dot{\gamma },X_{\theta }\rangle }{\| \dot{\gamma }\| \| X_{\theta }\| }
=\frac{\dot{\theta }x^2}{c\, x}=\frac{\dot{\theta }x}{c},
\]
Luego al multiplicar $\cos \varphi (u)$ por la distancia de $\gamma (u)$ al eje de revolución nos queda constante: ésta es la relación de Clairaut.
\[
x(t(u))\cos \varphi (u)=\frac{x^2(t(u))\dot{\theta }(u)}{c}=d/c,
\]
Notemos que si una geodésica $\gamma (u)$ tiene un punto $\gamma (u_0)$ con tangente horizontal, entonces o bien el paralelo que pasa por $\gamma (u_0)$ es geodésica (esto ocurre si y sólo si la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico, y en tal caso por unicidad de geodésicas $\gamma $ coincide con ese paralelo), o bien el paralelo que pasa por
$\gamma (u_0)$ no es geodésica, pero en tal caso $\cos \varphi (u)=1$. Por la relación de Clairaut,
los puntos $\gamma (u)$ en los que la última posibilidad ocurre cumplen $x(t(u))=d/c$, luego esta última posibilidad sólo ocurre en puntos aislados de $\gamma $.

Vamos ya a determinar las geodésicas de $S$ que no son paralelos ni meridianos: Como podíamos suponer que $\dot{\theta }(u)$ no tiene ceros, la segunda ecuación del sistema de las geodésicas se puede escribir
\[
\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}= -2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}
\]
o equivalentemente,
\[
\frac{d}{du}[\log \dot{\theta }(u)]=-2\frac{d}{du}[\log(x(t(u)))].
\]
Integrando,
\[
\log \dot{\theta }(u)=-2 \log(x(t(u))) + C,
\]
para cierta $C\in \mathbb{R}$. Por tanto,
\[
\dot{\theta }(u)=\frac{e^C}{x(t(u))^2},\qquad (2)
\]
o bien
\[
\theta (u)=\int ^u\frac{e^C}{x(t(u))^2}\, du. \qquad (3)
\]
La ultima fórmula nos dice que si obtenemos $t(u)$ entonces podremos sustituir en dicha fórmula para deducir $\theta (u)$. O dicho de otra forma, sólo necesitamos conocer $t(u)$.

A continuación veremos que $t(u)$ puede obtenerse integrando una EDO de primer orden. Sustituímos (2) en (1):
\[
c^2=(\dot{t}(u))^2+\frac{e^{2C}}{x(t(u))^2},
\]
luego
\[
\dot{t}(u)=\pm \frac{\sqrt{c^2x(t(u))^2-e^{2C}}}{x(t(u))},\qquad (4)
\]
que es una EDO de primer orden. Una vez resuelta (4) podremos sustituir en (3) y con ello
obtener $\gamma (u)$. Pero claro, en general no podemos asegurar encontrar EXPLÍCITAMENTE la solución general de (4). Si no estamos interesados en cómo se recorra $\gamma (u)$ sino sólo en su traza, podremos prescindir del parámetro $u$, dando la curva $\gamma $ en ecuaciones implícitas $\theta =\theta (t)$ respecto a las coordenadas $t,\theta $ (esto podrá hacerse localmente siempre que $\dot{t}(u)\neq 0$, recordemos que esto puede suponerse salvo en puntos aislados). Derivando implícitamente,
\[
\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{du}\frac{du}{dt}=\dot{\theta }(u)\frac{1}{\dot{t}(u)}=
\pm \frac{e^C}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}},
\]
que puede integrarse directamente:
\[
\theta (t)=\pm e^C\int ^t\frac{dt}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}}+\mbox{cte.}
\]

martes, 8 de mayo de 2012

Geodésicas (III)

En clase hemos visto el resultado de que una isometría local lleva geodésicas en geodésicas. Esto permite encontrar las geodésicas de un cilindro o de un cono, a partir de las geodésicas del plano que son las líneas rectas. Pero para el caso del cono, tendremos que construir una isometría local de un trozo de plano en un cono. Ese es el objetivo es esta entrada.

Consideremos un cono (la mitad del mismo, para que sea una superficie)
$$
C_{\delta }=\{ p=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\ | \ z^2=\delta ^2(x^2+y^2), \ z > 0\} ,
$$
donde $\delta > 0$. Si pensamos en $x,y$ con coordenadas polares
\[
x=\rho \cos \theta ,\quad y=\rho \sin \theta ,
\]
entonces
\[
\| p\| ^2=\rho ^2+z^2=(1+\delta ^2)\rho ^2,
\]
Si desarrollamos el cono sobre un plano con coordenadas cartesianas $(u,v)$ de forma que el vértice se aplique en el origen, entonces las generatrices del cono se aplicarán en las rectas que parten del origen. En coordenadas polares $(r,\alpha )$ (es decir, $u=r\cos \alpha$, $v=r\sin \alpha $), tendremos que el módulo $r$ será la distancia en la generatriz del cono al origen:
\[
r=\sqrt{1+\delta ^2}\rho ,
\]
y el argumento $\alpha $ en el plano $(u,v)$ recorrerá un sector de amplitud menor que $2\pi $ (pensar en un cucurucho que desenrollamos). Eso quiere decir que la relación entre el argumento $\theta $ (que se mueve en $[0,2\pi ]$) y $\alpha $ es lineal, pongamos
\[
\alpha =\mu \theta
\]
con $\mu \in (0,1)$ a determinar. O sea, a un punto del $(u,v)$-plano con coordenadas polares $(r,\alpha )$ le hacemos corresponder el punto del cono
\[
G(r,\alpha )=(x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\delta \rho )=
\frac{r}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta )
\]
Pero queremos una isometría local del $(u,v)$-plano en el cono $C_{\delta }$. Es decir, debemos componer $G$ con la "inversa" de las coordenadas polares $F(r,\alpha )=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=(u,v)$ (ponemos comillas porque dicha inversa no tiene sentido global, sino sólo localmente y fuera del origen del $(u,v)$ plano. Haremos la cuenta localmente, pero aún así denotaremos $F^{-1}(u,v)=(r,\alpha )$ a dicha inversa local).

Queremos ajustar el parámetro $\mu $ de forma que $G\circ F^{-1}=(G\circ F^{-1})(u,v)$ sea la isometría local que estamos buscando, de un abierto del $(u,v)$ plano en el cono $C_{\delta }$. Esto vendrá dado por que las derivadas parciales de $G\circ F^{-1}$ cumplan
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\| ^2=\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=1,\quad \langle (G\circ F^{-1})_u,
(G\circ F^{-1})_v\rangle =0.
\]
Así que imponemos las ecuaciones anteriores. Por la regla de la cadena,
\[
(G\circ F^{-1})_u=r_uG_r+\alpha _uG_{\alpha }, \quad
(G\circ F^{-1})_v=r_vG_r+\alpha _vG_{\alpha }. \qquad (1)
\]
Ahora vamos a calcular todo lo anterior. Por un lado,
\[
\left\{ \begin{array}{l}
1=u_u=(r\cos \alpha )_u=r_u\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _u,
\\
0=v_u=(r\sin \alpha )_u=r_u\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _u,
\end{array}
\right.
\]
y resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales, obtenemos
\[
r_u=\cos \alpha ,\quad \alpha _u=-\frac{\sin \alpha }{r}.
\]
Razonando análogamente obtenemos 
\[
\left\{ \begin{array}{l}

0=u_v=(r\cos \alpha )_v=r_v\cos \alpha -r\sin \alpha \, \alpha _v,
\\
1=v_v=(r\sin \alpha )_v=r_v\sin \alpha +r\cos \alpha \, \alpha _v,
\end{array}
\right.
\]
de donde
\[
r_v=\sin \alpha ,\quad \alpha _v=\frac{\cos \alpha }{r}.
\]
Por otro lado, derivando parcialmente en $G(r,\alpha )$ obtenemos
\[
G_r=\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}(\cos (\alpha /\mu ),\sin (\alpha /\mu ),\delta ),
\]
\[
G_{\alpha }=\frac{r}{\mu \sqrt{1+\delta ^2}}(-\sin (\alpha /\mu ),\cos (\alpha /\mu ),0),
\]
luego
\[
\| G_r\|^2=1,\quad \| G_{\alpha }\| ^2=\frac{r^2}{\mu ^2(1+\delta ^2)},\quad
\langle G_r,G_{\alpha }\rangle =0.
\]
Sustituyendo en (1) tenemos
\[
\| (G\circ F^{-1})_u\|^2=\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\| (G\circ F^{-1})_v\|^2=\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)},
\]
\[
\langle (G\circ F^{-1})_u,(G\circ F^{-1})_v\rangle =\sin \alpha \cos \alpha \left(
1- \frac{1}{\mu ^2(1+\delta ^2)}\right) ,
\]
luego tomando $\mu =\frac{1}{\sqrt{1+\delta ^2}}$ tenemos que $G\circ F^{-1}$ es una isometría local.

El cono es un ejemplo de superficie desarrollable,  en el sentido de que podemos "extenderla" en un trozo de plano sin distorsionarla. Con más rigor, una superficie desarrollable $S$ es aquella en la que cada punto admite un entorno donde hay definida una isometría con imagen un abierto del plano. Esto es equivalente a que la curvatura de Gauss de $S$ sea idénticamente cero ($S$ es llana). Todas las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$ son regladas. El Teorema de Stoker da la lista competa de las superficies desarrollables en $\mathbb{R}^3$:

  • Cilindros (no necesariamente circulares), es decir, $\gamma \times \mathbb{R}$ donde $\gamma $ es una curva plana,
  • Conos (no necesariamente circulares)),
  • Planos,
  • Las superficies que se parametrizan de la forma $X(t,s)=\gamma (t)+s\gamma '(t)$, donde $\gamma $ es una curva en $\mathbb{R}^3$.
Por definición, las superficies desarrollables son también aquellas de las que pueden trazarse mapas (locales) sin distorsión alguna, por lo que tienen interés en cartografía: por ejemplo, en muchas ocasiones se usa una proyección cartográfica de una región terrestre en una superficie desarrollable, para después desarrollar la superficie en una región del plano (un ejemplo es la proyección transversa de Mercator). Las superficies desarrollables también son útiles en la producción de objetos y materiales, ya que se construyen doblando suavemente una plancha de material, (metal, plástico, etc). Por ejemplo, los aros de una guitarra o muchas partes del casco de un barco.

lunes, 7 de mayo de 2012

Geodésicas (II)

Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada por el arco en una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$, cuya curvatura $\kappa $ como curva en $\mathbb{R}^3$ no tiene ceros. Demostrar que las coordenadas del vector $\gamma ''(t)$ respecto de la base ortonormal $\{ \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\times \gamma '(t), N_{\gamma (t)}\} $ (aquí $N$ es una aplicación de Gauss local para $S$) son del tipo $(0,k_g(t),k_n(t))$, donde $k_g(t)$ es una función diferenciable y
\[
k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))
\]
es la curvatura normal de $S$ en la dirección de $\gamma '(t)$ respecto a la aplicación de Gauss $N$. A la función $k_g(t)$ se le llama la curvatura geodésica de $\gamma $ (no depende de $N$ salvo el signo). Por tanto,
\[
\kappa ^2=\| \gamma ''\| ^2=k_g^2+k_n^2,
\]
es decir, la curvatura de $\gamma $ como curva en $\mathbb{R}^3$ tiene dos "componentes", una tangencial a $S$ (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde $S$) y otra normal a $S$ (la curvatura normal, que es extrínseca). Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:
  1. $\gamma $ es geodésica de $S$.
  2. La curvatura geodésica $k_g$ de $\gamma $ es idénticamente nula.
  3. Para cada $t$, el plano osculador a $\gamma $ en $t$ es perpendicular a $T_{\gamma (t)}S$. 
En la geometría intrínseca de S, la única curvatura "visible" de $\gamma $ es la curvatura geodésica. Esta curvatura está ligada a la curvatura de Gauss de $S$ mediante la fórmula de Gauss-Bonnet: Dado un dominio $\Omega \subset S$ compacto con frontera $C^{\infty }$, se tiene
\[
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
\]
donde $\chi (\Omega )$ es la característica de Euler de $\Omega $. Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera $C^{\infty }$ a trozos, en cuyo caso hay que añadir en el miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente $\gamma '$ al pasar por los vértices de $\gamma =\partial \Omega $. Esta última fórmula generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $\pi $: si el triángulo es esférico, esta suma es superior a $\pi $ mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que $\pi $. En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría.

viernes, 4 de mayo de 2012

Geodésicas (I)

Hemos visto en clase el concepto de geodésica como la generalización natural de las rectas en la geometría plana. Para ello hemos usado una aproximación variacional, viendo las geodésicas como curvas parametrizadas proporcionalmente al arco que son puntos críticos de la longitud para todas las variaciones propias. Este punto de vista variacional fue, de hecho, el comienzo de la geometría diferencial allá por 1696 con Euler.

El concepto de geodésica es el más importante en geometría intrínseca, junto con la curvatura de Gauss. Y el hecho de que "ser geodésica" sea un concepto puramente intrínseco permite generalizarlo al caso de que la superficie sea abstracta, es decir, no tenemos porqué basarnos en cómo la superficie está situada en el espacio, siempre que conozcamos su primera forma fundamental. Además, el concepto de geodésica puede definirse en variedades Riemannianas (es decir, "superficies abstractas de dimensión arbitraria dotadas de una primera forma fundamental"), e incluso en variedades más generales como las semi-Riemannianas (aquellas donde la primera forma fundamental no tiene porqué ser definida positiva, sino sólo una métrica no degenerada). Aunque no veremos nada sobre estas últimas, vale la pena comentar que los modelos matemáticos de la Teoría de la Relatividad de Einstein son variedades semi-Riemannianas de dimensión 4, donde la métrica no degenerada tiene signatura $(+,+,+,-)$ (llamadas espacio-tiempos; las tres dimensiones asociadas al signo $+$ corresponden al espacio, y la dimensión asociada al signo $-$ corresponde al tiempo). La trayectoria que sigue una partícula en caída libre en un espacio-tiempo es una curva en esa variedad de dimensión 4, que resulta ser una geodésica.

Pero volvamos al caso más sencillo de geodésicas en superficies de $\mathbb{R}^3$. Siguiendo un análogo a lo que ocurría en la demostración del teorema egregium de Gauss, es natural esperar una caracterización de las geodésicas de una superficie sólo en términos de la primera forma fundamental. Y esta caracterización es la siguiente: supongamos que $X(u,v)$ es una parametrización de una superficie $S$, con símbolos de Christoffel $\Gamma _{ij}^k$, $i,j,k=1,2$ (recordemos que los símbolos de Christoffel podían calcularse sólo con los coeficientes $E,F,G$ de la primera forma fundamental). Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada proporcionalmente al arco en $S$, cuya traza está contenida en la imagen de $X$ (esto no es restrictivo, ya que siempre puede hacerse localmente). Así, podemos escribir
\[
\gamma (t)=X(u_1(t),u_2(t)),
\]
donde $u_1(t),u_2(t)$ son funciones derivables. Probar que $\gamma $ es geodésica de $S$ si y sólo si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
\[
u_k''(t)+\sum _{i,j=1}^2(\Gamma _{ij}^k\circ \gamma )(t)u_i'(t) u_j'(t)=0,\quad k=1,2.
\]
Una primera consecuencia del sistema anterior es una demostración alternativa a la de clase de la propiedad de que por cada punto $p\in S$ y para cada vector $v\in T_pS$ pasa una única geodésica $\gamma $ con condiciones iniciales $\gamma (0)=p$, $\gamma '(0)=v$ (basta usar la existencia y unicidad de soluciones de un problema de valores iniciales asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias).