lunes, 30 de enero de 2012

Jacobiano de una aplicación entre superficies

Recordemos la fórmula de cambio de variable en integración, que permite transformar la integral de una función $h$ en un recinto $n$-dimensional $\phi (\Omega )\subset \mathbb{R}^n$ (aquí $\phi $ es un difeomorfismo entre abiertos de $\mathbb{R}^n$, cuyo dominio contiene a $\Omega $), con la integral sobre $\Omega $ de la composición de $h$ con la transformación $\phi $, corregida con un factor llamado Jacobiano de la transformación:
\[
\int _{\phi (\Omega )}h(x,y) \, dxdy=\int _{\Omega }(h\circ \phi )(u,v) \, |\mbox{Jac}\phi |(u,v)\, dudv.
\]
A continuación extenderemos el concepto de Jacobiano al contexto de superficies. Esto permite definir la integral de una función sobre un recinto en una superficie.


Sea $\phi \colon S_1\to S_2$ una aplicación diferenciable entre dos superficies. Se define el valor absoluto del Jacobiano de $\phi $ como la aplicación $|\mbox{Jac}\phi |\colon S_1\to \mathbb{R} $ dada por
\[
|\mbox{Jac}\phi |(p)=\left| \det \left( \langle d\phi _p(e_i),d\phi _p(e_j)\rangle \right) _{i,j=1,2}\right| ,
\]
donde $\{ e_1,e_2\} $ es una base ortonormal de $T_pS_1$.
  1. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)$ no depende de la base ortonormal $\{ e_1,e_2\} $.
  2. Demostrar que  $|\mbox{Jac}\phi |(p)=\| d\phi _p(e_1) \times d\phi _p(e_2)\| $ (producto vectorial).
  3. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)\neq 0$ si y sólo si $d\phi _p$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
  4. En el caso particular de que $\phi $ sea una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ de una superficie $S$, demostrar que \[ |\mbox{Jac}X|=\| X_u\times X_v\| =\sqrt{EG-F^2}. \]
La última fórmula  y la primera de esta entrada justifican la definición de la integral de una función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre $X(U)$:
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
siempre que el miembro de la derecha anterior tenga sentido. Esta definición es el germen de la teoría de integración en superficies, que generaliza la integral del Análisis en recintos planos. En particular, la integral no depende del comportamiento en conjuntos de medida nula; esto, añadido a que toda superficie $S$ admite una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$, permite usar la última fórmula para integrar sobre toda la superficie $S$.

La integración en superficies es una herramienta muy útil para estudiar geometría global, pero no la desarrollaremos en este curso: la asignatura optativa Geometría global de curvas y superficies se encargará de ello.

domingo, 22 de enero de 2012

Ovaloides

Hemos visto en clase la interpretación de que un punto de una superficie sea elíptico o hiperbólico, en términos del comportamiento local de la superficie respecto al plano tangente afín en ese punto.

Una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se dice un ovaloide si es compacta, conexa y todos sus puntos son elípticos, es decir su curvatura de Gauss es estrictamente positiva. Las esferas y los elipsoides son ejemplos de ovaloides. Prueba las siguientes propiedades de cualquier ovaloide $S$:
  1. La aplicación de Gauss $N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)$ es un difeomorfismo local. 
  2. $S$ es difeomorfo a una esfera.
Por ser sus puntos elípticos, un elipsoide tiene la propiedad de que siempre case a un lado del plano tangente afín en cualquiera de sus puntos. Esta idea de convexidad puede demostrarse rigurosamente, y forma parte del Teorema de Hadamard:

El dominio interior de un ovaloide $S$ es un abierto convexo de $\mathbb{R}^3$.

Podéis encontrar este teorema demostrado en el libro "Curvas y superficies" de Sebastián Montiel y Antonio Ros.

viernes, 20 de enero de 2012

Interpretación de la segunda forma fundamental en grafos

Sabemos que toda superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se escribe localmente como el grafo de una función diferenciable $f$. Supongamos, tras una traslación y una rotación en el espacio, que $S$ pasa por el origen y que en ese punto, el plano tangente a $S$ es $\{ z=0\} $. Así, localmente tenemos la parametrización como grafo
\[
X(x,y)=(x,y,f(x,y)),
\]
siendo $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. Demuestra que si elegimos como normal unitario a $N$ de forma que $N(0,0,0)=(0,0,1)$, entonces la segunda forma fundamental de $S$ respecto a  $N$ coincide en el punto $p_0=(0,0,0)$ con el hessiano de $f$ en $(0,0)$. Por tanto, la curvatura de Gauss de $S$ en $p_0$ es el determinante del hessiano y la curvatura media es la mitad del laplaciano de $f$ en $(0,0)$. Esto relaciona la teoría de superficies llanas y la de superficies mínimas con dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales clásicas, la ecuación de Monge-Ampère
\[
f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0
\]
y la ecuación de Laplace
\[
f_{xx}+f_{yy}=0.
\]


lunes, 16 de enero de 2012

Práctica de ordenador

Os recuerdo que la próxima práctica de ordenador, sobre superficies, plano tangente y aplicación de Gauss, está programada para el martes 17 de enero, a las 16:00, en el aula O4.

miércoles, 11 de enero de 2012

Material nuevo en la página web

He actualizado la página web de la asignatura con las soluciones de los problemas del capítulo 2 de la teoría (superficies), y con enunciados de exámenes de otros años. De éstps, podéis ir echando un vistazo a los primeros parciales y así ir cogiendo práctica. También podríamos basarnos en ese material para la(s) clase(s) extra que podamos dar antes del examen.

Por cierto, en el primer parcial entrarán los capítulos 1,2 y parte del 3, que vamos a empezar esta misma semana.


martes, 3 de enero de 2012

Examen de Febrero

Feliz año, ya estamos de vuelta.
Me propone Rafael Ruiz Muñoz que dediquemos algún tiempo a resolver exámenes de años anteriores, como preparación al primer parcial (8 de Febrero). Para ello podríamos dedicar 1-2 horas, si nos sobrara alguna clase. Si no sobran, podríamos dedicarle ese par de horas en horario extra. A ver qué os parece.