domingo, 15 de abril de 2012

La banda de Möbius

Me envía Jesús Antonio Bueno Linares una entrada sobre la banda de Möbius, donde da una parametrización de la misma y prueba que no es orientable. No tengo nada que objetar, las cuentas son impecables; si acaso, he modificado un par de detalles sobre los comentarios. Así que las pongo aquí abajo, y animo a los demás a que aporten algo más que comentarios a mis entradas: SE ADMITEN ENTRADAS (aunque antes debéis mandármelas a mi por email para echarles un vistazo y subirlas al blog).

Parametrización de la banda de Möbius

Consideremos el segmento $S=\{ (0,0,t)\ : \ |t|<\varepsilon \}$ para un $\varepsilon>0 $ suficientemente pequeño (en la figura de abajo, $\varepsilon =0.3)$. La idea para parametrizar una cinta de Möbius es la siguiente:

Consideramos la circunferencia unidad en el plano $\{ z=0 \}$, parametrizada por $\alpha (\theta)=(\cos \theta,\sin \theta,0)$, $|\theta |<\pi$. Para cada $\theta$ giramos el segmento $S$ un ángulo de $\theta/2$ alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto $(1,0,0)$ y giramos ángulo $\theta$ ahora con eje de giro OZ.

Al recorrer $\theta$ todo el intervalo $(-\pi,\pi)$, el centro de nuestro segmento habrá recorrido toda la circunferencia $\alpha $, pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegará con la orientación cambiada respecto a la original con la que salió (se habrá girado un ángulo $\pi$). Por tanto, esta construcción nos proporciona una banda de Möbius. Ahora hacemos las cuentas:

La matriz del giro de $\theta/2$ respecto del eje OY, respecto de la base usual, es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\]

Rotamos el segmento $S$, obteniendo los puntos
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
t
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
t \sin(\theta/2)\\
0\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}\right) ,
\]
para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.
Ahora trasladamos este último segmento (cuyo centro es el origen $(0,0,0)$)
sumándole $(1,0,0)$, obteniendo $(1+t \sin(\theta/2),0,t \cos(\theta/2))$,
$|t|<\varepsilon $.

Por último, giramos el segmento que acabamos de obtener un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en $\theta \in (0,2\pi )$) y obtendremos una parametrización de nuestra banda de Möbius:
\[
X(t,\theta)=\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta&\sin\theta&0\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
1+t \sin(\theta/2)\\
0
\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
-\sin\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
\]
donde $(t,\theta)\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\times (-\pi,\pi)$. Como hemos dicho antes, tomamos $\varepsilon $ suficientemente pequeño como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gráfico producido con Mathematica muestra que $\varepsilon =0.3$ es válido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que $X$ esté definida en un abierto de $\mathbb{R}^2$ (necesario para que sea parametrización), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrización dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos $\Sigma $.





No orientabilidad de la banda de Möbius

Para ver que $\Sigma $ no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicación de Gauss $N:\Sigma\rightarrow\mathbb{S}^2$ (en particular, $N$ es de clase $C^\infty$). Comprobemos que $N$ no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo cálculos en la parametrización anterior,
\[
X_t(t,\theta )=(\cos \theta \sin (\theta/2),-\sin \theta\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))
\]
\[
X_\theta(0,\theta)=(-\sin \theta,-\cos \theta,0)
\]
luego el vector
\[
(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )=(\cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2))
\]
lleva la dirección normal a $\Sigma $ en $X(0,\theta )$. Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicación de Gauss en términos de $X_t\times X_{\theta }$ (que normaliza este  último vector) no va a intervenir porque $\| X_t\times X_{\theta }\| $ siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos  considerando. Ahora podemos calcular la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al salir por $\theta =0$ (calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 0^+$):
\[
\lim_{\theta\to 0^+}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right) =(1,0,0),
\]
mientras que la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al llegar por $\theta =2\pi $
(llegamos al mismo punto de $\Sigma $ que antes, pero ahora calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 2\pi ^-$) es:
\[
\lim_{\theta\to 2\pi^-}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right)
=(-1,0,0),
\]
Y aquí tenemos la contradicción, ya que de existir la aplicación de Gauss tendríamos el mismo límite lateral en los dos casos (sería el valor de la aplicación de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducción analítica del hecho de que al seguir continuamente una determinación del normal y darle una vuelta a la banda de Möbius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.