miércoles, 29 de febrero de 2012

Longitud y área (I): Arquímedes

A menudo nos encontramos con el problema de estimar la longitud de una curva o el área de una superficie. En el caso de la longitud de una curva, vimos en clase que esta magnitud puede definirse mediante un proceso de paso al límite, aproximando la curva por poligonales inscritas cada vez más "próximas" a ésta. Es razonable pensar que el área de una superficie también pueda definirse mediante sucesivas aproximaciones de la superficie por superficies poliédricas, para las que será más fácil desarrollar una fórmula que esprese el área. Curiosamente, este proceso de aproximación no lleva siempre al resultado correcto. En esta entrada y en la siguiente veremos algunos aspectos de este problema, que ya fue considerado en la Grecia antigua por matemáticos como Arquímedes. Y de paso, veremos algunos aspectos históricos y curiosos.

ARQUIMEDES
Arquímedes (287-212 A.C.) fue hijo del astrónomo Fidias, quien le indujo el interés científico por explicar la naturaleza que nos rodea. Además de matemático, Arquímedes fue un notable físico, ingeniero y científico, quizás el más sobresaliente de la antigüedad. Son famosos algunos de sus inventos:
  • la catapulta y el sistema de espejos y lentes usados contra los romanos en la defensa del asedio de Siracusa. Quizás el gran éxito de estos sistemas defensivos (el segundo reflejaba la luz del sol dificultando la puntería de los romanos) supuso el final de Arquímedes: los habitantes de Siracusa, ante el éxito de los artilugios defensivos ideados por Arquímedes, relajaron la vigilancia de la ciudad, que fue tomada al asalto por los romanos. Arquímedes murió en este asalto, y nos han llegado dos leyendas sobre su muerte; en una de ellas, Arquímedes es situado en sus aposentos cuando los romanos entraron en medio del estruendo propio del asalto. Arquímedes, absorto en sus investigaciones, no hizo caso de las órdenes romanas y fue asesinado allí mismo. En la otra versión, Arquímedes estaba en la playa realizando cálculos geométricos cuando los romanos irrumpieron en ella y los destruyeron; el matemático se enfrentó a los militares romanos por ese motivo, lo que le supuso la muerte. Se dice que sus últimas palabras fueron “no molestes a mis círculos”) 
  • La polea compuesta y el tornillo que lleva su nombre (este artilugio permite elevar agua mediante una superficie de tipo helicoidal que gira alrededor de un eje; puede verse uno de estos tornillos de Arquímedes en el Parque de las Ciencias de Granada).
  • La palanca (es famosa la frase de Arquímedes "dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, en referencia a este útil invento) y el famoso Principio de Hidrostática: "un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja".
 Pero Arquímedes prefería, por encima de otras disciplinas, la Matemática y en particular la Geometría, hasta reflejarla en su epitafio, que representaba un cilindro circunscrito a una esfera.Entre los logros matemáticos de Arquímedes podemos resaltar los siguientes:
  1. Aproximación de $\pi $ o más concretamente, de la razón $L/d$, donde $L$ es la longitud de la circunferencia y $d$ su diámetro: Inscribiendo una circunferencia en un cuadrado y comparando longitudes deducimos que $L < 4d$. Inscribiendo un hexágono regular en la misma circunferencia obtendremos $3d < L$. Uniendo ambas desigualdades se obtiene $3 < \pi < 4$. Usando aproximaciones de la circunferencia por otros polígonos regulares de más lados (¡hasta 96!), Arquímedes probó rigurosamente que $ 3,1408 \sim  223/71 < \pi  <  22/7\sim  3,1428 $ (¡un error menor que una milésima!). En este razonamiento encontramos algo que comentábamos arriba: la aproximación de la longitud de una curva por longitudes de poligonales convexas con los mismos extremos.
  2.  Cuadratura de la parábola: Una sección de parábola $R$ (encerrada por una cuerda de ésta y un segmento perpendicular al eje de la parábola) excede en un tercio al área del triángulo $T$ de igual base que $R$ y cuyo vértice es el de la parábola, es decir $$ 3 \mbox{ Area}(R) = 4 \mbox{ Area} (T).$$
  3. El área de una esfera es el cuádruple del área de su círculo máximo (o en lenguaje moderno, $4\pi R^2$ donde $R$ es el radio).
  4. El volumen de una media esfera de radio $R$ sumado con el volumen del cono de vértice el centro de la esfera, radio $R$ y altura $R$, es igual al volumen del cilindro de radio $R$ y altura $R$ (el razonamiento de Arquímedes era un precedente del teorema de Fubini, ya que relacionó las áreas de las secciones de los tres cuerpos mediante planos paralelos a la base del cilindro, de altura variable $d$ entre $0$ y $R$).


  5. Su teorema favorito (hizo grabarlo en su tumba como epitafio): El volumen encerrado por una esfera de radio $r$ es $2/3$ del volumen encerrado por el cilindro circunscrito, es decir, de radio $r$ y altura $2r$. Si cambiamos volumen encerrado por área, la ecuación que relaciona ambas áreas es exactamente la misma.
A la vista de los resultados anteriores, podemos concluir que Arquímedes estaba muy interesado en la geometría, y más particularmente, en longotudes, áreas y volúmenes. A continuación reproducimos un pasaje de uno de sus libros, “Sobre la esfera y el cilindro”, donde puede admirarse el rigor en la exposición y conceptos, así como una primera aproximación al concepto de longitud de una curva y área de una superficie mediante aproximación por poligonales o superficies poliédricas convexas, con lo que volvemos al tema del principio de esta entrada. Es de resaltar el detalle de que Arquímedes sólo considera aproximaciones convexas, en un alarde de perspicacia. Más adelante veremos más sobre esto.

“Sobre la esfera y el cilindro”

Arquímedes a Dosifeo, ¡salud! De las proposiciones que había estudiado redacté y te envié antes con su demostración la de que todo segmento comprendido por una recta y una parábola es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base y la misma altura que el segmento.  


Como después se me ocurrieron teoremas dignos de mención, me he estado ocupando en sus demostraciones. Y son éstos: primero, que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los que hay en ella, luego que la superficie de todo casquete esférico es igual a la del círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete a la circunferencia del círculo que sirve de base al casquete; además de éstos, que en toda esfera, el cilindro que tiene su base igual al círculo máximo de los de la esfera y una altura igual al diámetro de la esfera, es, el mismo, una vez y media la esfera y su superficie una vez y media la de la esfera.  


Estas propiedades de las figuras mencionadas existían desde antes en la naturaleza, pero eran desconocidas por quienes se dedicaron a la geometría antes que nosotros, porque a ninguno se le ocurrió que hubiera una conmensurabilidad entre estas figuras. Por ello yo no dudaría en comparar estas proposiciones con las estudiadas por otros geómetras y entre ellas, con las de Eudoxo relativas a los cuerpos sólidos, que parecen tan sobresalientes: la de que toda pirámide es un tercio del prisma que tiene la misma base que la pirámide e igual altura, y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cono e igual altura.


Aunque por naturaleza estas figuras tenían desde antes estas propiedades y aunque habían existido antes de Euxodo muchos geómetras dignos de mención, ocurrió que fueron ignoradas por todos y que ninguno cayó en la cuenta. Quienes estén capacitados podrán examinarlas. Hubiera yo debido publicarlas en vida de Conón, pues le consideraba especialmente capaz de meditar sobre ellas y emitir un juicio adecuado; considerando que es conveniente comunicarlas a los familiarizados con las matemáticas, he redactado para enviártelas las demostraciones sobre las que podrán investigar quienes se dedican a las matemáticas. 
Que sigas bien. 

Van primero las definiciones y postulados para las demostraciones. 
 

1. Definiciones:   En el plano hay algunas líneas curvas finitas que o bien están enteras por el mismo lado de las rectas que unen sus extremos o bien no tienen ningún punto por el otro lado. 
Llamo cóncava por el mismo lado a una línea tal que si en ella tomamos dos puntos cualesquiera, las rectas entre esos puntos o bien caen enteras hacia el mismo lado de la línea o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia línea, pero ninguna hacia el otro lado.

 
Igualmente existen también superficies finitas que no están situadas ellas mismas en un plano, pero tienen sus extremos en un plano, las cuales estarán o bien enteras hacia el mismo lado del plano en el que tienen sus extremos o bien no tendrán ninguna parte hacia el otro lado. Y llamo cóncavas hacia el mismo lado a superficies tales que, si se toman dos puntos en ellas, las rectas entre esos puntos caen o bien enteras hacia el mismo lado de la superficie o bien una parte hacia el mismo lado y otra sobre la propia superficie, pero ninguna hacia el otro lado. 

2. Postulados:  Postulo lo siguiente: 
De la línea que tiene los mimos extremos, la recta es la más corta. De las otras líneas, si estando en un plano tienen los mismos extremos, tales líneas son desiguales, siempre que ambas sean cóncavas hacia el mismo lado y o bien una de ellas esté completamente comprendida por la otra y la recta que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte esté comprendida y otra parte sea común; y la línea comprendida es menor.  


De modo semejante, de las superficies que tienen los mismos extremos, si tienen los extremos en un plano, la menor es el plano. De las otras superficies que también tienen los mismos extremos, si los extremos están en un plano, tales superficies son desiguales, puesto que si ambas superficies fueran cóncavas hacia el mismo lado, o bien una superficie estará comprendida entera por la otra y por el plano que tiene los mismos extremos que ella, o bien una parte estará comprendida y otra la tendrá en común; y la superficie comprendida será menor. 


Hemos visto cómo Arquímedes parece indicar que el cálculo de la longitud de una curva o del área de una superficie podemos usar aproximaciones poligonales o poliédricas convexas. En el caso de una curva, pueden usarse aproximaciones poligonales cualesquiera, pero tal generalidad no se extiende al cálculo de áreas de superficies, como pondrá de manifiesto la Paradoja de Schwarz, que veremos en la siguiente entrada.

martes, 21 de febrero de 2012

Sobre el Teorema de Hilbert

En clase hemos visto el Teorema de Hilbert, una condición suficiente para que un punto de una superficie sea umbilical. ¿Es cierto el teorema si se suprime únicamente la hipótesis que involucra a la curvatura de Gauss? (es decir, si el punto no se supone elíptico)

sábado, 18 de febrero de 2012

Calificaciones del primer parcial

Ya están disponibles en la página web de la asignatura las calificaciones del primer parcial. La revisión de exámenes será el próximo jueves 23 de febrero, de 18 a 20 horas.

Quería hacer algunas valoraciones sobre las notas. De entrada, los resultados son muy malos. Sólo un aprobado, 15 suspensos. Esto merece un análisis, a ver cómo podemos mejorar las expectativas para lo que queda de curso.

En general, habéis estudiado la teoría: fórmulas, conceptos principales, "problemas tipo". Un ejemplo: la mayoría hace bien lo de "probar que $S$ es una superficie orientable, y calcular una aplicación de Gauss", que se hacía poniendo $S$ como imagen inversa de un valor regular. Pero fuera de esos razonamientos estándar, las cosas cambian: muchos razonamientos son incorrectos, algunos sin ningún sentido. En general, se aprecia que habéis estudiado la teoría y puede que también los problemas que yo hice en clase, pero aquí se queda la cosa. Veo que los fallos empiezan en aspectos completamente de base como los siguientes (más o menos generalizados):
  • Fallos de lógica básica. Un ejemplo: si se quiere probar por reducción al absurdo que una expresión $f(t)$ no tiene ceros, no puede suponerse que $f(t)$ vale cero PARA TODO $t$.
  • No entender un enunciado. Otro ejemplo: si se pide "probar que la aplicación de Gauss de $S$ es un difeomorfismo de $S$ en $S'$ ", no se está pidiendo que encontréis ALGUN difeomorfismo entre $S$ y $S'$: la aplicación $N$ a usar ha de ser la aplicación de Gauss de la primera superficie. 
  • No saber qué es una aplicación inyectiva o sobreyectiva. Inyectiva no es "que a cada punto le corresponde una imagen", ni sobreyectiva es "que a cada punto de la imagen le corresponde una única preimagen".
  • No saber derivar una expresión. Casi todos habéis fallado al calcular la diferencial de $f(p)=|p|^2-\langle p,a\rangle ^2$. Este es un objetivo básico de la asignatura.
  • Escribir cosas sin sentido. Por ejemplo, dividir vectores entre vectores, $\sqrt{r^2+(r')^2}=r+r'$, o el producto vectorial en $\mathbb{R}^2$. Y algo muy extendido: poner varias líneas de razonamiento, algunas veces con sentido pero que no tienen nada que ver con la conclusión, y al final, mágicamente, escribir como conclusión que la propiedad que se preguntaba en el enunciado es cierta. Es completamente ingenuo, por no decir algo peor, pensar que enrollarse es mejor que no poner nada. Las matemáticas se basan en la lógica, no en contar historias.
Aunque hay más fallos, yo creo que con lo anterior es suficiente. Lo siguiente es que cada uno de vosotros os planteéis las siguientes preguntas:
  • ¿He hecho problemas por mi cuenta? ¿Cuántos de esos problemas he resuelto sin ayuda?
  • ¿Cuántos textos o material adicional (internet) he usado para preparar el examen, además de lo de clase?
  • ¿Cuántas veces he preguntado en clase, o en tutorías, o por correo electrónico?
Conclusiones: Ante estos resultados, uno se plantea que algo debe cambiar si queréis obtener algo más positivo al final del curso. La asignatura no puede cambiar, en cuanto a contenidos. Se me ocurren otras posibilidades:
  1. Cambiar algunos aspectos de las clases. Desde luego, la teoría debe explicarse, pero podemos hacer más participativa la clase, no sólo que yo explique y vosotros copiáis (por cierto, tenéis la teoría disponible en internet). Pero los problemas sí admiten cambios. Por ejemplo, podéis distribuíros por grupos pequeños (3-4 personas) y en función del nº de grupos distribuiremos los problemas de un tema, sabiendo la distribución desde el principio del tema. Cuando yo termine la exposición de la teoría de ese tema, deberéis tener listos los problemas y uno o varios de los miembros del grupo saldrán a exponerlos.
  2. Usar más los medios de que disponéis para consultar dudas: salvo contadas excepciones, no me habéis preguntado nada durante el primer parcial, ni por medio de tutorías, ni por correo electrónico, ni por este blog.
  3. Debéis asimilar que no es suficiente con estudiar el material de clase. Eso es lo primero a entender, y normalmente da para aprobar. Pero uno se da cuenta de si domina una asignatura enfrentándose a problemas que no están resueltos, y comprobando si los puede resolver. Muchas veces, eso conlleva buscar en libros de la bibliografía, hacer exámenes anteriores, etc. El punto 1 anterior va de esto: que os enfrentéis a problemas sin hacer.
Ahora sois vosotros los que podéis opinar sobre lo anterior, con un comentario a esta entrada.

domingo, 12 de febrero de 2012

Soluciones del primer parcial

Ya están disponibles las soluciones del primer parcial de Geometría de Curvas y Superficies, en la página web de la asignatura. También tienes un link aquí.

sábado, 4 de febrero de 2012

Primer parcial de la asignatura

Por si alguno aún no lo supiera, el próximo miércoles 8 de febrero de 2012 tendremos el primer parcial de Geometría de Curvas y Superficies, a las 9:30 horas y en las aulas Q12 y Q22.