El teorema de Bonnet: un resultado de comparación

Dedicamos el lunes a terminar la prueba del Teorema de Bonnet sobre comparación del diámetro de una superficie completa que se curva más que una esfera: como era de esperar, el diámetro no puede superar al de la esfera.

La demostración se basa en acotar por arriba la longitud de cualquier geodésica minimizante en la superficie (el Teorema de Hopf-Rinow nos asegura que esto equivale a acotar por encima el diámetro de la superficie, ya que dados dos puntos cualesquiera existe una geodésica minimizante que los une).

Aunque lo enunciamos, no vimos en clase la prueba del Teorema de Hopf-Rinow, pero está disponible en un pdf colgado en la página web de la asignatura. Como alternativa, hay una demostración más sencilla de una versión reducida del Teorema de Hopf-Rinow para superficies cerradas, que sólo necesita el Teorema de Arzelá-Ascoli, y que puede encontrarse en el libro de Montiel-Ros "Curvas y superficies".

Este teorema de Bonnet es un ejemplo de resultado de comparación, donde a partir de una estimación (de curvatura) de una superficie en términos de una superficie modelo (la esfera), comparamos algún invariante geométrico (el diámetro) de ambas superficies. Hay muchos resultados de este tipo, que no veremos en este curso: a partir de estimaciones de curvatura uno puede comparar normas de campos de Jacobi, puntos conjugados, longitudes de geodésicas minimizantes, áreas, y muchos más objetos geométricos asociados a la geometría de una superficie.

El Teorema de Bonnet cierra el temario teórico de la asignatura. Dedicamos el resto de la semana a resolver ejercicios de la relación del capítulo 4.

Primera entrada "efectiva"

Aunque las clases están a punto de terminar, no he querido esperar al curso que viene para empezar con las entradas al blog.

Esta semana hemos continuado con diversos aspectos de geometría intrínseca de superficies, sobre todo basados en al cálculo variacional para el funcional longitud. Sabíamos de semanas anteriores que las geodésicas son los puntos críticos de este funcional (para variaciones propias), y vimos que las geodesicas radiales minimizan la longitud al menos, mientras estén contenidas en una bola geodésica centrada en su extremo inicial.

A continuación estudiamos la segunda forma de variación de la longitud, y obtuvimos condiciones sobre la curvatura de Gauss de la superficie y sobre la longitud de una geodésica parametrizada por el arco que aseguran que ésta no puede minimizar la longitud. Esencialmente, la superficie debe curvarse al menos como una esfera, y la geodésica debe ser más larga que medio círculo máximo sobre esa esfera.

La propiedad de minimización de la longitud para geodésicas radiales contenidas en bolas geodésicas fue fundamental para definir una distancia natural entre puntos de una superficie (conexa), lo que nos permitió definir conceptos globales como la completitud. Terminamos enunciando el teorema de Hopf-Rinow, que nos caracteriza la completitud en términos de la exponencial, de hasta cuándo están definidas la geodésicas, o de la validez del teorema de Heine-Borel en una superficie. La demostración del teorema de Hopf-Rinow necesita el concepto de entorno totalmente normal, que no veremos en clase. Tanto este concepto como la propia demostración del teorema pueden encontrarse en el Apéndice disponible en la página web de la asignatura. (ver link en la columna de la derecha).

Bienvenida

Esta es la primera entrada del blog de la asignatura Geometría de Curvas y Superficies, y éste es el primer blog que me he animado a mantener.

No sé si será útil o o no, ni de la cantidad de trabajo que va a demandar. Pero creo que puede ser una vía de comunicación dinámica sobre la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies. La idea es que sea un complemento a los contenidos desarrollados en clase, dónde comentar aspectos del "día a día". Muchos de estos contenidos y material usado en la asignatura están alojados de forma más estática en la web

http://www.ugr.es/~jperez/docencia/Geom3/index.html

El éxito de este blog, como el de todos, es la participación de vosotros, los usuarios.