sábado, 28 de mayo de 2011

El teorema de Bonnet: un resultado de comparación

Dedicamos el lunes a terminar la prueba del Teorema de Bonnet sobre comparación del diámetro de una superficie completa que se curva más que una esfera: como era de esperar, el diámetro no puede superar al de la esfera.

La demostración se basa en acotar por arriba la longitud de cualquier geodésica minimizante en la superficie (el Teorema de Hopf-Rinow nos asegura que esto equivale a acotar por encima el diámetro de la superficie, ya que dados dos puntos cualesquiera existe una geodésica minimizante que los une).

Aunque lo enunciamos, no vimos en clase la prueba del Teorema de Hopf-Rinow, pero está disponible en un pdf colgado en la página web de la asignatura. Como alternativa, hay una demostración más sencilla de una versión reducida del Teorema de Hopf-Rinow para superficies cerradas, que sólo necesita el Teorema de Arzelá-Ascoli, y que puede encontrarse en el libro de Montiel-Ros "Curvas y superficies".

Este teorema de Bonnet es un ejemplo de resultado de comparación, donde a partir de una estimación (de curvatura) de una superficie en términos de una superficie modelo (la esfera), comparamos algún invariante geométrico (el diámetro) de ambas superficies. Hay muchos resultados de este tipo, que no veremos en este curso: a partir de estimaciones de curvatura uno puede comparar normas de campos de Jacobi, puntos conjugados, longitudes de geodésicas minimizantes, áreas, y muchos más objetos geométricos asociados a la geometría de una superficie.

El Teorema de Bonnet cierra el temario teórico de la asignatura. Dedicamos el resto de la semana a resolver ejercicios de la relación del capítulo 4.

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