sábado, 21 de mayo de 2011

Primera entrada "efectiva"

Aunque las clases están a punto de terminar, no he querido esperar al curso que viene para empezar con las entradas al blog.

Esta semana hemos continuado con diversos aspectos de geometría intrínseca de superficies, sobre todo basados en al cálculo variacional para el funcional longitud. Sabíamos de semanas anteriores que las geodésicas son los puntos críticos de este funcional (para variaciones propias), y vimos que las geodesicas radiales minimizan la longitud al menos, mientras estén contenidas en una bola geodésica centrada en su extremo inicial.

A continuación estudiamos la segunda forma de variación de la longitud, y obtuvimos condiciones sobre la curvatura de Gauss de la superficie y sobre la longitud de una geodésica parametrizada por el arco que aseguran que ésta no puede minimizar la longitud. Esencialmente, la superficie debe curvarse al menos como una esfera, y la geodésica debe ser más larga que medio círculo máximo sobre esa esfera.

La propiedad de minimización de la longitud para geodésicas radiales contenidas en bolas geodésicas fue fundamental para definir una distancia natural entre puntos de una superficie (conexa), lo que nos permitió definir conceptos globales como la completitud. Terminamos enunciando el teorema de Hopf-Rinow, que nos caracteriza la completitud en términos de la exponencial, de hasta cuándo están definidas la geodésicas, o de la validez del teorema de Heine-Borel en una superficie. La demostración del teorema de Hopf-Rinow necesita el concepto de entorno totalmente normal, que no veremos en clase. Tanto este concepto como la propia demostración del teorema pueden encontrarse en el Apéndice disponible en la página web de la asignatura. (ver link en la columna de la derecha).

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