sábado, 4 de junio de 2011

El funcional energía y los campos de Jacobi

Dedicamos la semana a resolver los problemas de la última relación, sobre geometría intrínseca. Entre éstos, estudiamos el funcional energía como alternativa al funcional longitud para encontrar las curvas que realizan la distancia entre dos puntos de una superficie. En cierto sentido, el funcional energía se adapta mejor que la longitud a este problema, ya que sus puntos críticos para variaciones propias son las geodésicas (lo mismo ocurría con el funcional longitud) pero la energía distingue la parametrización que hace geodésica al correspondiente punto crítico (eso no lo hacía el funcional longitud).
Vimos cómo la forma índice aparece de forma natural al estudiar la segunda derivada del funcional energía sobre una geodésica. En esta forma índice juega un papel fundamental la curvatura de Gauss de la superficie, lo que permite establecer teoremas de comparación al estilo del teorema de Bonnet (nosotros lo demostramos usando el funcional longitud, pero también puede usarse la energía para ello).
El radical de la forma índice detecta los campos de Jacobi sobre la geodésica que se anulan en los extremos. Los campos de Jacobi son las soluciones de cierta EDO lineal de segundo orden sobre la geodésica. La teoría general de EDO muestra que el espacio de campos de Jacobi sobre una geodesica es siempre 4-dimensional, aunque el subespacio de los que se anulan en los extremos tiene dimensión menor o igual a 1. Por ejemplo, la geodésica dada por medio círculo máximo en una esfera admite un campo de Jacobi no nulo (único salvo múltiplos constantes) que se anula en los extremos.

Terminamos la última clase hablando algo de las asignaturas optativas que pueden cursarse a partir de ésta de Curvas y Superficies (o que de alguna forma se relacionan con ésta). Aquí tienes una versión más extendida de algunas de las cosas que comentamos:
  • Geometría y Topología. Trata de el estudio de las variedades diferenciables, que son las "superficies en dimensión arbitraria". A diferencia de lo que hemos hecho en este curso (salvo en el capítulo 4), no se presupone que dichas variedades estén incluídas en un espacio euclídeo de dimensión superior (geometría intrínseca). No se estudian propiedades métricas, sino sólo algunas que dependen de la estructura diferenciable.
  • Geometría global de Curvas y Superficies. Es una continuación de la asignatura que hemos terminado, donde se estudian propiedades que afectan a la superficie globalmente. La herramienta fundamental en esta asignatura es la integración.
  • Geometría Riemanniana. Es una continuación de "Geometría y Topología", para variedades diferenciables. En este caso se las dotará de una métrica Riemanniana, que es una métrica definida positiva sobre cada espacio tangente, que varía diferenciablemente. Generaliza a la primera forma fundamental de las superficies.
  • Geometría de Convexos. Se estudian propiedades de este tipo de conjuntos, funciones soporte y envolventes convexas. Aparecen conceptos fundamentales como la distancia de Hausdorff entre conjuntos y se aborda la desigualdad isoperimétrica, una de las principales relaciones entre la geometría, la teoría de la medida y las ecuaciones en derivadas parciales.
  • Topología II. Se clasifican, desde el punto de vista topológico, las superficies compactas según sean orientables o no, y según una cantidad numérica asociada (la característica de Euler o el género). También se estudian invariantes algebraicos básicos asociados a un espacio topológico, como el grupo fundamental. Este grupo permite abordar los espacios recubridores, una herramienta fundamental para muchas construcciones en geometría y topología.
  • Topología Algebraica. Se estudia la teoría de homología singular. Esta es una poderosa herramienta para distinguir espacios topológicos, donde las sucesiones exactas y el Algebra Homológica juegan un papel fundamental.
  • Geometría y Relatividad. Se estudian modelos diferenciables y métricos del Universo. Estos son variedades diferenciables dotados de una métrica Lorentziana, similar a una métrica Riemanniana pero no definidas positivas; en lugar de esto tienen una dirección "definida negativa": la dirección temporal. Por supuesto, aparecen conceptos físicos como rayos de luz y gravedad, todos tratados desde el punto de vista de la Geometría Diferencial.
  • Grupos de Lie. Estudia un tipo especial de variedades diferenciables, que admiten una estructura algebraica de grupo. En estas variedades los subgrupos se compartan como subvariedades, y se mezclan la Geometría Diferencial con la Teoría de Grupos. También tienen aplicaciones físicas importantes.

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