Interpretación de la segunda forma fundamental en grafos

Sabemos que toda superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se escribe localmente como el grafo de una función diferenciable $f$. Supongamos, tras una traslación y una rotación en el espacio, que $S$ pasa por el origen y que en ese punto, el plano tangente a $S$ es $\{ z=0\} $. Así, localmente tenemos la parametrización como grafo
\[
X(x,y)=(x,y,f(x,y)),
\]
siendo $f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$. Demuestra que si elegimos como normal unitario a $N$ de forma que $N(0,0,0)=(0,0,1)$, entonces la segunda forma fundamental de $S$ respecto a  $N$ coincide en el punto $p_0=(0,0,0)$ con el hessiano de $f$ en $(0,0)$. Por tanto, la curvatura de Gauss de $S$ en $p_0$ es el determinante del hessiano y la curvatura media es la mitad del laplaciano de $f$ en $(0,0)$. Esto relaciona la teoría de superficies llanas y la de superficies mínimas con dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales clásicas, la ecuación de Monge-Ampère
\[
f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0
\]
y la ecuación de Laplace
\[
f_{xx}+f_{yy}=0.
\]