viernes, 4 de mayo de 2012

Geodésicas (I)

Hemos visto en clase el concepto de geodésica como la generalización natural de las rectas en la geometría plana. Para ello hemos usado una aproximación variacional, viendo las geodésicas como curvas parametrizadas proporcionalmente al arco que son puntos críticos de la longitud para todas las variaciones propias. Este punto de vista variacional fue, de hecho, el comienzo de la geometría diferencial allá por 1696 con Euler.

El concepto de geodésica es el más importante en geometría intrínseca, junto con la curvatura de Gauss. Y el hecho de que "ser geodésica" sea un concepto puramente intrínseco permite generalizarlo al caso de que la superficie sea abstracta, es decir, no tenemos porqué basarnos en cómo la superficie está situada en el espacio, siempre que conozcamos su primera forma fundamental. Además, el concepto de geodésica puede definirse en variedades Riemannianas (es decir, "superficies abstractas de dimensión arbitraria dotadas de una primera forma fundamental"), e incluso en variedades más generales como las semi-Riemannianas (aquellas donde la primera forma fundamental no tiene porqué ser definida positiva, sino sólo una métrica no degenerada). Aunque no veremos nada sobre estas últimas, vale la pena comentar que los modelos matemáticos de la Teoría de la Relatividad de Einstein son variedades semi-Riemannianas de dimensión 4, donde la métrica no degenerada tiene signatura $(+,+,+,-)$ (llamadas espacio-tiempos; las tres dimensiones asociadas al signo $+$ corresponden al espacio, y la dimensión asociada al signo $-$ corresponde al tiempo). La trayectoria que sigue una partícula en caída libre en un espacio-tiempo es una curva en esa variedad de dimensión 4, que resulta ser una geodésica.

Pero volvamos al caso más sencillo de geodésicas en superficies de $\mathbb{R}^3$. Siguiendo un análogo a lo que ocurría en la demostración del teorema egregium de Gauss, es natural esperar una caracterización de las geodésicas de una superficie sólo en términos de la primera forma fundamental. Y esta caracterización es la siguiente: supongamos que $X(u,v)$ es una parametrización de una superficie $S$, con símbolos de Christoffel $\Gamma _{ij}^k$, $i,j,k=1,2$ (recordemos que los símbolos de Christoffel podían calcularse sólo con los coeficientes $E,F,G$ de la primera forma fundamental). Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada proporcionalmente al arco en $S$, cuya traza está contenida en la imagen de $X$ (esto no es restrictivo, ya que siempre puede hacerse localmente). Así, podemos escribir
\[
\gamma (t)=X(u_1(t),u_2(t)),
\]
donde $u_1(t),u_2(t)$ son funciones derivables. Probar que $\gamma $ es geodésica de $S$ si y sólo si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
\[
u_k''(t)+\sum _{i,j=1}^2(\Gamma _{ij}^k\circ \gamma )(t)u_i'(t) u_j'(t)=0,\quad k=1,2.
\]
Una primera consecuencia del sistema anterior es una demostración alternativa a la de clase de la propiedad de que por cada punto $p\in S$ y para cada vector $v\in T_pS$ pasa una única geodésica $\gamma $ con condiciones iniciales $\gamma (0)=p$, $\gamma '(0)=v$ (basta usar la existencia y unicidad de soluciones de un problema de valores iniciales asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias).

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