En clase vimos cómo construir un homeomorfismo f del elipsoide E de ecuación (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 en la esfera unidad S. Este homeomorfismo se basaba en proyectar "centralmente" (desde el origen) los puntos de E sobre los puntos de S. Sin embargo, las 'cuentas' salen un poco difíciles, sobre todo en el cálculo de la inversa de f.
Propusimos definir otro homeomorfismo f:E->S, pero ahora 'estirando' cada uno de los semiejes del elipsoide independientemente de los otros dos. Hay muchas formas de hacer esto, pero una es especialmente sencilla. ¿Desde el punto de vista del álgebra lineal, ¿qué tipo de aplicación f nos sale? ¿y desde el punto de vista de la geometría afín?
La aplicación que a cada punto de R^2 nos lo lleva en dividir la primera coordenada por "a", la segunda por "b" y la tercera por "c" es continua.
ResponderEliminarSi la restringimos al elipsoide la imagen es claramente la esfera S^2
Es verdad que es mucho más fácil que la que comenté en clase.
Por cierto, este blog admite LaTeX?
Exacto, José Antonio (bueno, salvo que cuando dices "cada punto de R^2" debes decir "cada punto de R^3"). Y la inversa es en este caso igual de fácil: dado un punto (x,y,z) de la esfera unidad, el punto (ax,by,cz) está en el elipsoide E, luego f^{-1}(x,y,z)=(ax,by,cz), que también es continua. Desde el punto de vista topológico, f (que es la que tú dices) y f^1 son HOMEOMORFISMOS. Desde el Algebra Lineal, f y f^{-1} son AUTOMORFISMOS de R^3. Y como aplicaciones afínes, son AFINIDADES.
ResponderEliminarEn cuanto a tu pregunta sobre LaTex, la respuesta es que no lo admite (desafortunadamente): este blog está montado en blogspot (Google), y para implementar LaTex deberíamos instalar en el servidor donde se aloja el blog un paquete como MathJax; pero no tengo acceso al servidor. Este mismo paquete lo tengo instalado en la página web de la asignatura (que no es un blog), porque en ese caso sé cómo acceder al servidor. (Se admiten sugerencias para hacer que LaTex pueda usarse en el blog)