¿Qué es la curvatura de una trayectoria?

Mientras que en sus orígenes, las matemáticas sirvieron para algo tan mundano como contar (aritmética), la belleza que han adquirido con el paso de los siglos estriba en su capacidad para expresar la naturaleza: a menudo nos llama la atención la forma de las cosas, sus simetrías, los distintos patrones en su coloración, o cómo evolucionan ciertos fenómenos que dependen del tiempo. Es inherente al ser humano entender qué leyes rigen estos fenómenos, y ésa es la utilidad y la belleza de las matemáticas. El problema es que para intentar entender un fenómeno de la naturaleza, lo primero que debemos hacer es modelarlo en un concepto matemático, sobre el que podamos aplicar la lógica y a posteriori, deducir propiedades del sistema que pretendemos estudiar. Pongamos un ejemplo para ilustrar esto.

Todos tenemos una idea más o menos intuitiva de cuándo una trayectoria se está curvando, o de que una trayectoria se curva más que otra. Pero ¿cómo podríamos justificar una definición rigurosa de curvatura? Veremos la respuesta en clase, pero por ahora quizás sea bueno plantearse algunas preguntas sencillas (analízalas y justifica tus respuestas):

1. ¿Qué curvatura debería tener una línea recta?  ¿Y una circunferencia?
2. ¿Puede variar la curvatura de una trayectoria si nos movemos sobre la misma?
3. Si una trayectoria se obtiene a partir de otra aplicando un movimiento rígido, ¿qué relación deberían tener sus curvaturas?
4. ¿A qué trayectorias deberíamos asociarles curvatura idénticamente cero? ¿Y qué trayectorias deberían tener curvatura constante no cero?
5. Si pensamos en describir una curva en una carretera, podemos hablar de "curva a izquierda" y "curva a la derecha". ¿Cómo podríamos reflejar esto en el concepto de curvatura?

Según lo anterior, podríamos pensar en un primer momento que la curvatura debería medir "el cambio de dirección" de la trayectoria. Y es así, pero es más sutil: Sigamos con el símil anterior de las curvas en una carretera. Imagina dos curvas a izquierda que unen tramos rectos y paralelos de la carretera, pero que una de ellas es más cerrada que la otra:

 En cada una de las dos curvas de la figura anterior, el cambio de dirección total es de 180º. Sin embargo, ¿deberían tener estas dos curvas de la carretera la misma curvatura? Claramente, no. De aquí deducimos que la curvatura no sólo debe medir la variación de la dirección en la que se mueve la trayectoria, sino que tiene que tener en cuenta el tiempo que se tarda en cambiar esta dirección. 

Hay muchas curvas en el plano y en el espacio de una gran belleza. Describirlas con palabras es demasiado complicado, por lo que los matemáticos han desarrollado un lenguaje para ello. Lo más común es describirlas mediante una parametrización (como la trayectoria de una partícula que se mueve con el tiempo). Aquí entran cuestiones formales como qué coordenadas usar (cartesianas, polares, etc). Es posible, también, describir completamente una trayectoria (salvo movimientos rígidos) diciendo cómo se curva en cada instante. Esta propiedad puede parecer en principio sorprendente, y de hecho no es cierta en dimensiones superiores.