Sigue las instrucciones a continuación para describir una parametrización de la cardioide:
- Salvo aplicar una homotecia y una tralsación, podemos suponer que ambas circunferencias son de radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos C(t)=2e^{it} al centro de la circunferencia que está rodando y Q(t)=e^{it} al punto de tangencia entre ambas circunferencias, t\in [0,2\pi ). Prueba que la longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto Q(t) hasta \alpha (t), es t.
- Deduce quel apartado 1 que el punto \alpha (t) se obtiene aplicando un giro de ángulo t al vector Q(t)-C(t). Deduce de aquí que \alpha (t)=2e^{it}-e^{2it}, t\in [0,2\pi ).
- Demuestra que la longitud total de la cardioide es 16.
- ¿Es la cardioide una curva regular?
La curva que va girando sobre la otra tambien tiene radio uno. Podemos expresarla, si la llamamos A, por la siguiente parametrizacion:
ResponderEliminarA(t_0)=2e^{it_0}+e^{it}
Es inmediato que ||A'(t)||=1 por lo tanto esta curva tambien esta parametrizada por el arco. La longitud entre dos instantes de tiempo es su diferencia. En el instante t=0,\ Q(0)=\alpha(0)
Para cualquier otro instante t la longitud entre Q(t)\ y\ \alpha(t) es exactamente t
Para el segundo apartado se usa que la ecuación de dicha circunferencia está ppa. Si la longitud entre dos puntos de la circunferencia es t es porque son imágenes de dos puntos del intervalo [0,2\pi) cuya diferencia vale t. Por lo tanto, el ángulo que forman los dos vectores de extremos Q(t)\ y\ \alpha(t) y origen el punto C(t) es t.
Entonces el vector con extremo \alpha(t) se consigue al girar un ángulo t el vector con extremo Q(t) (el sentido de giro es positivo)
Q(t)-C(t)=-e^{it}=-(cos(t), sen(t)). Al girarlo un ángulo t, (multiplicamos por la matriz de giro ángulo t\ cos(t)\ sen(t)\ -sen(t)\ cos(t))
nos queda el vector -e^{2it}
Por lo tanto en cada instante de tiempo t\ ,\ \alpha(t)=2e^{it}-e^{2it}
\alpha'(t)=2i(e^{it}-e^{2it})=2i(cos(t)-cos(2t), sen(t)-sen(2t))
||\alpha'(t)||=2\sqrt{ (cos(t)-cos(2t))^2+(sen(t)-sen(2t))^2}=2\sqrt{2-2cos(t)}
La integral del módulo entre 0 y 2\pi es exactamente 16
Además, \alpha'(t)=0\Leftrightarrow ||alpha'(t)||=0 y esto sólo se da en el instante de tiempo t=0
Por lo tanto la cardioide no es una curva regular