Sigue las instrucciones a continuación para describir una parametrización de la cardioide:
- Salvo aplicar una homotecia y una tralsación, podemos suponer que ambas circunferencias son de radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos $C(t)=2e^{it}$ al centro de la circunferencia que está rodando y $Q(t)=e^{it}$ al punto de tangencia entre ambas circunferencias, $t\in [0,2\pi )$. Prueba que la longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto $Q(t)$ hasta $\alpha (t)$, es $t$.
- Deduce quel apartado 1 que el punto $\alpha (t)$ se obtiene aplicando un giro de ángulo $t$ al vector $Q(t)-C(t)$. Deduce de aquí que $\alpha (t)=2e^{it}-e^{2it}$, $t\in [0,2\pi )$.
- Demuestra que la longitud total de la cardioide es 16.
- ¿Es la cardioide una curva regular?
La curva que va girando sobre la otra tambien tiene radio uno. Podemos expresarla, si la llamamos A, por la siguiente parametrizacion:
ResponderEliminar$A(t_0)=2e^{it_0}+e^{it}$
Es inmediato que $||A'(t)||=1$ por lo tanto esta curva tambien esta parametrizada por el arco. La longitud entre dos instantes de tiempo es su diferencia. En el instante $t=0,\ Q(0)=\alpha(0)$
Para cualquier otro instante $t$ la longitud entre $Q(t)\ y\ \alpha(t)$ es exactamente $t$
Para el segundo apartado se usa que la ecuación de dicha circunferencia está ppa. Si la longitud entre dos puntos de la circunferencia es $t$ es porque son imágenes de dos puntos del intervalo $[0,2\pi)$ cuya diferencia vale $t$. Por lo tanto, el ángulo que forman los dos vectores de extremos $Q(t)\ y\ \alpha(t)$ y origen el punto $C(t)$ es $t$.
Entonces el vector con extremo $\alpha(t)$ se consigue al girar un ángulo $t$ el vector con extremo $Q(t)$ (el sentido de giro es positivo)
$Q(t)-C(t)=-e^{it}=-(cos(t), sen(t))$. Al girarlo un ángulo t, (multiplicamos por la matriz de giro ángulo $t\ cos(t)\ sen(t)\ -sen(t)\ cos(t))$
nos queda el vector $-e^{2it}$
Por lo tanto en cada instante de tiempo $t\ ,\ \alpha(t)=2e^{it}-e^{2it}$
$\alpha'(t)=2i(e^{it}-e^{2it})=2i(cos(t)-cos(2t), sen(t)-sen(2t))$
$||\alpha'(t)||=2\sqrt{ (cos(t)-cos(2t))^2+(sen(t)-sen(2t))^2}=2\sqrt{2-2cos(t)}$
La integral del módulo entre 0 y $2\pi$ es exactamente 16
Además, $\alpha'(t)=0\Leftrightarrow ||alpha'(t)||=0$ y esto sólo se da en el instante de tiempo $t=0$
Por lo tanto la cardioide no es una curva regular