Area del recinto encerrado por una curva cerrada simple plana

Dentro de las curvas planas tenemos unas especialmente sencillas: son las curvas cerradas simples. Intuitivamente, éstas son las curvas que encierran recintos del plano (con borde $C^{\infty }$): Una curva $\alpha \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2$ se dice cerrada si $\alpha (a)=\alpha (b)$ y $\alpha ^{(k)}(a)=\alpha ^{(k)}(b)$ para todo $k\in \mathbb{N}$ (todas las derivadas coinciden). Un resultado topológico, el teorema de la curva de Jordan, asegura que toda curva cerrada simple plana divide a $\mathbb{R}^2$ en dos recintos, uno acotado (el dominio interior, al que denotaremos por $\Omega $) y otro no acotado (su complementario). Tenemos entonces dos cantidades ligadas a $\alpha $: su longitud $L=\int _a^b\| \alpha '(t)\| \, dt$, y el área $A(\Omega )$ del dominio interior encerrado por $\alpha $.

Dedicaremos esta entrada a dar la siguiente fórmula para calcular esta área, y dejaremos la relación básica entre área y longitud (o perímetro) para una entrada posterior: si escribimos $\alpha (t)=(x(t),y(t))$ y orientamos $\alpha $ de forma que el dominio interior siempre queda a la izquierda de la curva, entonces el área del dominio interior se calcula así:
\[
A(\Omega )\stackrel{(a)}{=}-\int _a^by(t)x'(t)\, dt\stackrel{(b)}{=}\int _a^bx(t)y'(t)\, dt
\stackrel{(c)}{=}\frac{1}{2}\int _a^b(xy'-yx')\, dt.
\]
De hecho, la fórmula anterior es válida aunque $\alpha $ no sea $C^{\infty }$: basta que sea $C^1$ a trozos.

1. Usa la regla de Barrow para probar que la igualdad en (b) es cierta.
2. Deduce (c) de la igualdad en (b).
3. Prueba (a) en el siguiente caso particular: El recinto $\Omega $ está delimitado por dos segmentos verticales y dos grafos de funciones $f,h\colon [x_0,x_1]\to \mathbb{R} $, siendo $f < h$, como en la siguiente figura:

En la figura anterior, hemos marcado los cuatro vértices del recinto de forma que uno es $\alpha (a)=\alpha (b)$, luego $\alpha $ recorre el grafo de $h$ hasta llegar a $\alpha (t_1)$; entre $\alpha (t_1)$ y $\alpha(t_2)$ recorremos un segmento vertical, para luego recorrer el grafo de $f$, y terminar con otro segmento vertical desde $\alpha (t_3)$ hasta $\alpha (b)$.

Para probar el caso general de la fórmula (a), supondremos que existe una dirección en $\mathbb{R}^2$  de forma que la curva $\alpha $ sólo es tangente a un número finito de rectas en esa dirección, como en la siguiente figura:

Admitiendo lo anterior, prueba la igualdad (a).

Hay una forma más directa de demostrar la fórmula de $A(\Omega )$, pero necesita la llamada fórmula de Green (o el teorema de la divergencia, o el teorema de Stokes). La fórmula de Green nos dice que si $p(x,y),q(x,y)$ son funciones $C^1$ definidas en un abierto que contiene a $\Omega $, entonces
\[
\int _{\Omega }\left(\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y} \right) dxdy=\int _a^b\left[ p(x(t),y(t))x'(t)+q(x(t),y(t))y'(t)\right] dt.
\]
Prueba la fórmula $2A(\Omega )=\int _a^b(xy'-yx')\, dt$ usando la fórmula de Green. Esta fórmula de Green se verá como corolario del Teorema de Stokes, en la asignatura Geometría y Topología de 4º curso, aunque puede que ya os haya aparecido en otra asignatura.