Curvatura, coordenadas polares y ecuaciones implícitas

En clase hemos visto cómo calcular la curvatura de una curva plana regular si tenemos una parametrización en coordenadas cartesianas $\alpha (t)=(x(t),y(t))$. En esta entrada tienes las fórmulas necesarias para calcular la curvatura usando coordenadas grafo, polares o cuando sólo disponemos de la ecuación implícita de la curva.

1. Sea $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ una función diferenciable y $\alpha \colon (a,b)\to \mathbb{R}^2$ la curva dada por $\alpha (t)=(t,f(t))$. Probar que la curvatura de $\alpha $ viene dada por  \[ \kappa =\frac{-f''}{[1+(f')^2]^{3/2}}.\]
2. Sea $\beta (\theta )=r(\theta )(\cos \theta ,\sin \theta )$ una curva plana escrita en coordenadas polares ($r(\theta )$ es una función $C^{\infty }$ y positiva). Demostrar que la curvatura de $\beta $ es \[ \kappa =\frac{2(r')^2-rr''+r^2}{[r^2+(r')^2]^{3/2}}. \]
3. Sea $F\colon O\to \mathbb{R}$ una función diferenciable definida en un abierto $O$ de $\mathbb{R}^2$, y $a\in \mathbb{R}$ un valor regular de $F$, es decir, $F^{-1}(\{ a\} )\neq \emptyset $ y $\forall (x,y)\in F^{-1}(\{ a\} )$, $\nabla F(x,y)\neq (0,0)$ ($\nabla F$ denota el gradiente de $F$).  Demostrar que cada componente conexa del conjunto $\{ (x,y)\in O \ | \ F(x,y)=a\} $ es una curva regular, y que su curvatura viene dada por \[ \kappa =\frac{(\nabla ^2F)(\nabla F,\nabla F)}{\| \nabla F\| ^3},\] donde $\nabla ^2F$ es el hessiano de $F$.