La desigualdad isopermétrica (II)

En esta entrada veremos la demostración dada por Schmidt en 1939 de la desigualdad isoperimétrica en el plano:
Dado un dominio compacto y regular $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, se tiene:
$$4\pi \mbox{Area}(\Omega )\leq \mbox{Longitud}(\partial \Omega )^2, \qquad \mbox{"="} \Longleftrightarrow \Omega  \mbox{ es un disco redondo.}$$
Es de destacar la sencillez de la prueba, que sólo usa geometría elemental, y que no supone existencia de dominios isoperimétricos.

Tenemos un dominio compacto y regular $\Omega \subset \mathbb{R}^2$. Tomamos una dirección $v\in \mathbb{R}^2-\{ 0\}$.

Prueba que existen rectas $L,L'$ paralelas a $v$ que son tangentes a $\partial \Omega$ y tales que $\Omega$ está contenido en la banda cerrada con borde $L\cup L'$.

Llamamos $2r>0$ a la distancia de $L$ a $L'$. Ahora consideramos una circunferencia $S^1$ de radio $r$ que sea tangente a $L$ y a $L$. Tomamos coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^2$ de forma que el centro de $S^1$ es $(0,0)$ y las rectas $L,L'$ vienen dadas por
$$L=\{ x=r\} ,\qquad L'=\{ x=-r\} .$$
Respecto de estas coordenadas, podemos parametrizar $\partial \Omega$ por el arco mediante
$\alpha (s)=(x(s),y(s))$, $s\in [0,B]$, de forma que $\alpha (0)=\alpha (B)\in L$, donde $B=\mbox{Longitud}(\partial \Omega )$. Así existirá $s_1\in (0,B)$ tal que $\alpha (s_1)\in L'$ (posiblemente $s_1$ no es único), como en la siguiente figura:

Demuestra que existe una función $\overline{y}\colon [0,B]\to R$ de clase $C^1$ tal que $\overline{\alpha }(s)=(x(s),\overline{y}(s))$ parametriza la circunferencia $S^1$.

De esta forma, en cada instante $s$, los puntos $\alpha (s)$ y $\overline{\alpha }(s)$ están sobre la misma recta vertical, como en la figura de arriba.

En esta entrada del blog vimos cómo calcular el área de los recintos encerrados por $\alpha$ y $\overline{\alpha }$:
$$\mbox{Area}(\Omega )=\int _0^Bx(s)y'(s)\, ds, \qquad \pi r^2=-\int _0^B\overline{y}(s)x'(s)\, ds,$$
luego
$$\mbox{(a)}\hspace{2cm} \mbox{Area}(\Omega )+\pi r^2=\int _0^B(xy'-\overline{y}x')ds\leq \int _0^B\sqrt{(xy'-\overline{y}x')^2}ds$$

Usa la desigualdad de Schwarz para probar que $\forall s\in [0,B]$,
$$\left[ x(s)y'(s)-\overline{y}(s)x'(s)\right] ^2\leq \left[ x(s)^2+(\overline{y}(s))^2\right] \left[ (y'(s)^2+x'(s)^2\right] .$$ Deduce que $$\left[ xy'(s)-\overline{y}x'\right] ^2\leq r^2\qquad \mbox{ en }\ [0,B].$$

Usando el ejercicio anterior en (a), tenemos
$$\mbox{(b)}\hspace{2cm}\mbox{Area}(\Omega )+\pi r^2\leq \int _0^Br\, ds=rB.$$
Por otro lado, la relación entre la media geométrica y la media aritmética de números positivos implica que
$$\mbox{(c)}\hspace{2cm}\sqrt{\mbox{Area}(\Omega )\cdot \pi r^2}\leq \frac{1}{2}\left( \mbox{Area}(\Omega ) +\pi r^2\right) ^2.$$
De (b) y (c) deducimos que
$$\mbox{Area}(\Omega )\cdot \pi r^2\leq  \frac{1}{4}r^2B^2,$$
que es la desigualdad isoperimétrica.
Supongamos ahora que se da la igualdad en la desigualdad isopermétrica. Entonces tiene que darse la igualdad en cada desigualdad del desarrollo anterior. En particular:

1. La igualdad en (c) implica que $\mbox{Area}(\Omega )=\pi r^2$. De aquí deducimos que $r$ no depende de la dirección $v$ que tomamos al principio.
2. La igualdad en  (b) implica que se da la igualdad en la desigualdad de Schwarz (último ejercicio). Por tanto, existe $\lambda =\lambda (s)$ tal que $(x,\overline{y})=\lambda (y',x')$.
   Deduce que $\lambda$ es constante $\pm r$.

Acabamos de probar que $y'=\pm \frac{1}{r}x$. Como $r$ no depende de la dirección $v$, podemos intercambiar los papeles de $x,y$ con lo que obtendremos análogamente $x'=\pm \frac{1}{r}y$. Por tanto,
$$x^2+y^2=r^2[ (y')^2+(x')^2]=r^2,$$
De donde deducimos que $\Omega$ es un disco de radio $r$.