Calcula la curvatura de una elipse de semiejes $a,b>0$ ($a\neq b$). Prueba que los puntos críticos de su curvatura son exactamente los puntos de intersección de la elipse con sus semiejes, más exactamente: los dos máximos de la curvatura son los puntos donde la elipse pasa por su eje mayor, mientras que los dos mínimos son los puntos de intersección de la elipse con su eje menor.
En general, los puntos críticos de la curvatura de una curva plana se llaman los vértices de la curva. Hay un resultado global de curvas planas, llamado el teorema de los cuartro vértices, que afirma que toda curva plana, regular, cerrada y simple (es decir, sin autointersecciones) tiene, por lo menos, 4 vértices, de los que al menos dos son máximos locales y otros dos son mínimos locales. Puedes leer algo más sobre este resultado en
http://en.wikipedia.org/wiki/Four-vertex_theorem
La curva $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ que a cada $t$ lo aplica en $(a cos(t), b\ sen(t))$ tiene como imagen a la elipse de semiejes $a,b$. \\
ResponderEliminarPara calcular $\kappa(t)$ usamos la fórmula general.\\
$\alpha'(t)=(-a\ sen(t), b\ cos(t))$\\
$\alpha''(t)=(-a\ cos(t), -b\ sen(t))$. \\
$J\alpha''(t)=(-b\ sen(t), -a\ cos(t))$ \\
Por lo tanto, tras aplicar la fórmula adecuadamente queda: $\kappa(t)={ab \over (a^2\cdot sen^2(t)+b^2\cdot cos^2(t))^{3\over 2}}$\\
El problema es que no veo yo que esa curvatura se anule. En el denominador no hay problemas de cero (seno y coseno nunca se anulan en el mismo punto) ya que es la suma de números mayores o iguales que cero (nunca, repito, ambos simultaneamente). \\
¿Me he equivocado mal en los cálculos? O es que estoy interpretando mal el problema?
Vale, ahora lo veo, esto pasa por ir con prisas..
ResponderEliminarNo es que la curvatura se anule, se me está preguntado por los puntos críticos de la curvatura!
Pues derivamos la expresión de la curvatura, igualamos a cero y nos da infinitos puntos críticos.
Para evitar repetir los puntos críticos pues restringimos el dominio de $\alpha$ al intervalo $[0,2\pi]$ que obviamente tiene la misma traza que la curva definida en todo $\mathbb{R}$
Ahora sí, nos salen cuatro puntos críticos: $\{0,\pi /2, \pi, 3 \pi /2\}$
Obviamente la imagen de estos cuatro puntos son los vértices de la elipse.
El máximo se alcanza en 0 y $\pi$ y el mínimo en los otros dos
OK, todo perfecto. Un comentario tonto: en el caso a=b la elipse "degenera" en una circunferencia, y la curvatura se hace constante. Esto no contradice el teorema de los cuatro vértices, simplemente tenemos infinitos vértices: todos los puntos de la circunferencia.
ResponderEliminarHe visto los post con las clases y me ha parecido que el blog está (estuvo) muy bien!
ResponderEliminarGracias.
Gracias, nickenino.
EliminarSiempre agrada leer este tipo de opiniones...