domingo, 15 de abril de 2012

La banda de Möbius

Me envía Jesús Antonio Bueno Linares una entrada sobre la banda de Möbius, donde da una parametrización de la misma y prueba que no es orientable. No tengo nada que objetar, las cuentas son impecables; si acaso, he modificado un par de detalles sobre los comentarios. Así que las pongo aquí abajo, y animo a los demás a que aporten algo más que comentarios a mis entradas: SE ADMITEN ENTRADAS (aunque antes debéis mandármelas a mi por email para echarles un vistazo y subirlas al blog).

Parametrización de la banda de Möbius

Consideremos el segmento $S=\{ (0,0,t)\ : \ |t|<\varepsilon \}$ para un $\varepsilon>0 $ suficientemente pequeño (en la figura de abajo, $\varepsilon =0.3)$. La idea para parametrizar una cinta de Möbius es la siguiente:

Consideramos la circunferencia unidad en el plano $\{ z=0 \}$, parametrizada por $\alpha (\theta)=(\cos \theta,\sin \theta,0)$, $|\theta |<\pi$. Para cada $\theta$ giramos el segmento $S$ un ángulo de $\theta/2$ alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto $(1,0,0)$ y giramos ángulo $\theta$ ahora con eje de giro OZ.

Al recorrer $\theta$ todo el intervalo $(-\pi,\pi)$, el centro de nuestro segmento habrá recorrido toda la circunferencia $\alpha $, pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegará con la orientación cambiada respecto a la original con la que salió (se habrá girado un ángulo $\pi$). Por tanto, esta construcción nos proporciona una banda de Möbius. Ahora hacemos las cuentas:

La matriz del giro de $\theta/2$ respecto del eje OY, respecto de la base usual, es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\]

Rotamos el segmento $S$, obteniendo los puntos
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
t
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
t \sin(\theta/2)\\
0\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}\right) ,
\]
para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.
Ahora trasladamos este último segmento (cuyo centro es el origen $(0,0,0)$)
sumándole $(1,0,0)$, obteniendo $(1+t \sin(\theta/2),0,t \cos(\theta/2))$,
$|t|<\varepsilon $.

Por último, giramos el segmento que acabamos de obtener un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en $\theta \in (0,2\pi )$) y obtendremos una parametrización de nuestra banda de Möbius:
\[
X(t,\theta)=\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta&\sin\theta&0\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
1+t \sin(\theta/2)\\
0
\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
-\sin\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
\]
donde $(t,\theta)\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\times (-\pi,\pi)$. Como hemos dicho antes, tomamos $\varepsilon $ suficientemente pequeño como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gráfico producido con Mathematica muestra que $\varepsilon =0.3$ es válido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que $X$ esté definida en un abierto de $\mathbb{R}^2$ (necesario para que sea parametrización), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrización dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos $\Sigma $.





No orientabilidad de la banda de Möbius

Para ver que $\Sigma $ no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicación de Gauss $N:\Sigma\rightarrow\mathbb{S}^2$ (en particular, $N$ es de clase $C^\infty$). Comprobemos que $N$ no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo cálculos en la parametrización anterior,
\[
X_t(t,\theta )=(\cos \theta \sin (\theta/2),-\sin \theta\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))
\]
\[
X_\theta(0,\theta)=(-\sin \theta,-\cos \theta,0)
\]
luego el vector
\[
(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )=(\cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2))
\]
lleva la dirección normal a $\Sigma $ en $X(0,\theta )$. Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicación de Gauss en términos de $X_t\times X_{\theta }$ (que normaliza este  último vector) no va a intervenir porque $\| X_t\times X_{\theta }\| $ siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos  considerando. Ahora podemos calcular la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al salir por $\theta =0$ (calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 0^+$):
\[
\lim_{\theta\to 0^+}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right) =(1,0,0),
\]
mientras que la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al llegar por $\theta =2\pi $
(llegamos al mismo punto de $\Sigma $ que antes, pero ahora calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 2\pi ^-$) es:
\[
\lim_{\theta\to 2\pi^-}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right)
=(-1,0,0),
\]
Y aquí tenemos la contradicción, ya que de existir la aplicación de Gauss tendríamos el mismo límite lateral en los dos casos (sería el valor de la aplicación de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducción analítica del hecho de que al seguir continuamente una determinación del normal y darle una vuelta a la banda de Möbius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.

3 comentarios:

  1. Buenas tardes. A raíz de lo que hice me surgieron algunas dudas.

    1. Al representarlo con mathematica y tal "se ve" que la superficie que genero es una cinta de Möbius. Pero, ¿cómo puedo probar rigurosamente que dicho subconjunto de $\mathbb{R}^3$ tiene la topología de una banda de Möbius?

    A nosotros se nos definió la banda como un espacio topológico cociente, considerando cierta relación de equivalencia en $[0,1]^2$

    ¿Cómo puedo probar que, efectivamente, el subconjunto que genera mi parametrización tiene la topología de una cinta de Möbius?


    2. También, dándole vueltas a la cabeza, me gustaría que el método que sigo, cambiando algo, me diera una cinta de Möbius con propiedades interesantes.

    Por ejemplo, ¿puedo lograr en algún momento que mi cinta sea una superficie con alguna curvatura constante? ¿Puedo imponer desde un comienzo alguna de estas condiciones? Por ejemplo, imponer desde un principio curvatura de Gauss constante, o que sea una cinta de Möbius mínima.

    Un saludo

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  2. 1. En efecto, se ve que es una banda de Möebius. Pero si lo que quieres es probarlo rigurosamente, una forma de hacerlo es así: Hay un resultado de topología que dice que si $f\colon X\to Y$ es una identificación entre espacios topológicos, y en $X$ consideramos la relación de equivalencia $R$ que identifica puntos de $X$ cuendo tienen la misma imagen por $f$, entonces $f$ desciende a un homeomorfismo de $X/R$ en $Y$. En este caso, puedes usar esta idea para producir un homeomorfismo del cociente de $[0,1]^2$ en la superficie de $\mathbb{R}^3$ que produjiste arriba. Como pista, recuerda que una aplicación continua, sobreyectiva y cerrada es una identificación.

    2. Esto es mucho más complicado que la pregunta 1. Tu método de construcción de la superficie es demasiado rígido como para que puedas modificarlo para producir una superficie mínima o de curvatura media constante. Por ejemplo, tienes obstrucciones como las siguientes:
    Como tu banda de Möbius contiene segmentos, su curvatura de Gauss es no positiva en todos los puntos. Yo diría que no depende del parámetro $\theta $ (por el papel que esta variable juega), pero no he hecho las cuentas. Pero una superficie mínima reglada es necesariamente un trozo de plano o de catenoide, así que habría que abandonar la idea de rotar un segmento. Si cambiamos segmento por una curva plana a determinar y le imponemos que tenga curvatura media constante (incluyendo el valor cero), entonces la condición $H=$cte, que en principio es una ecuación diferencial en derivadas parciales, se traducirá en una EDO de segundo orden (por el papel que juega la variable $\theta $ en la construcción, tampoco $H$ va a depender de $\theta $, creo yo). Ahora habría que obtener dicha EDO y en teoría, ésta admitirá soluciones, que te producirán la curva plana que nos haga el papel del segmento que rota media vuelta hasta cerrar la banda de Möbius. Otra cosa es poder encontrar, en la práctica una solución explícita de dicha EDO. Como ves, no es fácil, pero eso ya lo dije al principio.

    En esta línea, conviene mencionar que Bill Meeks (un experto en teoría de superficies mínimas y de curvatura media constante de la Universidad de Massachusetts, suele venir bastante por Granada y estará aquí del 12 de mayo al 30 de junio) encontró las ecuaciones explícitas de una banda de Möbius mínima en $\mathbb{R}^3$. Pero el método de construcción está basado en Análisis Complejo, por medio de una fórmula de representación de superficies mínimas en términos de una pareja de funciones holomorfas (Representación de Weierstrass). Hay una imagen en

    http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/Bjoerling/moebius/web/index.html

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  3. Ok, para la primera cuestión entonces considero el espacio topológico producto $\Omega=[0,2\pi]\times [-0.3,0.3]$ y defino la relación de equivalencia que me da una cinta de Möbius.

    Luego defino la aplicación $\Omega:\rightarrow\mathbb{R}^3$ que viene dada por mi parametrización, y restrinjo a su imagen

    Si demuestro que la relación de equivalencia que he definido en $\Omega$ coincide con la que usted dice, la que relaciona puntos con imágenes iguales, ya lo tengo todo.

    Porque $X$ es una aplicación sobreyectiva (al estar restringida a su imagen), continua (obvio) y cerrada (sale de un compacto, llega a un Hausdorff y es continua), entonces esto me dice que $X$ es identificación y que la correspondiente aplicación del cociente a mi subconjunto es homeomorfismo.

    Lo que me queda por probar claro es que esas relaciones de equivalencia coinciden...

    Para la segunda pregunta, veo que no es nada inmediato ni mucho menos... Me pasaré en esta semana algún día que usted pueda por su despacho a ver si lo entiendo en persona un poco mejor.

    Muchísimas gracias por las respuestas

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