tag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post5959446170780783232..comments2022-03-27T16:34:17.003+02:00Comments on Geometría de Curvas y Superficies: La banda de MöbiusJoaquín Pérezhttp://www.blogger.com/profile/13691539769864072678noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-5208129355422208862012-04-29T19:18:10.172+02:002012-04-29T19:18:10.172+02:00Ok, para la primera cuestión entonces considero el...Ok, para la primera cuestión entonces considero el espacio topológico producto $\Omega=[0,2\pi]\times [-0.3,0.3]$ y defino la relación de equivalencia que me da una cinta de Möbius.<br /><br />Luego defino la aplicación $\Omega:\rightarrow\mathbb{R}^3$ que viene dada por mi parametrización, y restrinjo a su imagen<br /><br />Si demuestro que la relación de equivalencia que he definido en $\Omega$ coincide con la que usted dice, la que relaciona puntos con imágenes iguales, ya lo tengo todo.<br /><br />Porque $X$ es una aplicación sobreyectiva (al estar restringida a su imagen), continua (obvio) y cerrada (sale de un compacto, llega a un Hausdorff y es continua), entonces esto me dice que $X$ es identificación y que la correspondiente aplicación del cociente a mi subconjunto es homeomorfismo.<br /><br />Lo que me queda por probar claro es que esas relaciones de equivalencia coinciden...<br /><br />Para la segunda pregunta, veo que no es nada inmediato ni mucho menos... Me pasaré en esta semana algún día que usted pueda por su despacho a ver si lo entiendo en persona un poco mejor.<br /><br />Muchísimas gracias por las respuestasJesús Antonio Bueno Linareshttps://www.blogger.com/profile/00656614422704856617noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-52681951198630208282012-04-29T14:09:06.662+02:002012-04-29T14:09:06.662+02:001. En efecto, se ve que es una banda de Möebius. P...1. En efecto, se ve que es una banda de Möebius. Pero si lo que quieres es probarlo rigurosamente, una forma de hacerlo es así: Hay un resultado de topología que dice que si $f\colon X\to Y$ es una identificación entre espacios topológicos, y en $X$ consideramos la relación de equivalencia $R$ que identifica puntos de $X$ cuendo tienen la misma imagen por $f$, entonces $f$ desciende a un homeomorfismo de $X/R$ en $Y$. En este caso, puedes usar esta idea para producir un homeomorfismo del cociente de $[0,1]^2$ en la superficie de $\mathbb{R}^3$ que produjiste arriba. Como pista, recuerda que una aplicación continua, sobreyectiva y cerrada es una identificación.<br /><br />2. Esto es mucho más complicado que la pregunta 1. Tu método de construcción de la superficie es demasiado rígido como para que puedas modificarlo para producir una superficie mínima o de curvatura media constante. Por ejemplo, tienes obstrucciones como las siguientes:<br />Como tu banda de Möbius contiene segmentos, su curvatura de Gauss es no positiva en todos los puntos. Yo diría que no depende del parámetro $\theta $ (por el papel que esta variable juega), pero no he hecho las cuentas. Pero una superficie mínima reglada es necesariamente un trozo de plano o de catenoide, así que habría que abandonar la idea de rotar un segmento. Si cambiamos segmento por una curva plana a determinar y le imponemos que tenga curvatura media constante (incluyendo el valor cero), entonces la condición $H=$cte, que en principio es una ecuación diferencial en derivadas parciales, se traducirá en una EDO de segundo orden (por el papel que juega la variable $\theta $ en la construcción, tampoco $H$ va a depender de $\theta $, creo yo). Ahora habría que obtener dicha EDO y en teoría, ésta admitirá soluciones, que te producirán la curva plana que nos haga el papel del segmento que rota media vuelta hasta cerrar la banda de Möbius. Otra cosa es poder encontrar, en la práctica una solución explícita de dicha EDO. Como ves, no es fácil, pero eso ya lo dije al principio.<br /><br />En esta línea, conviene mencionar que Bill Meeks (un experto en teoría de superficies mínimas y de curvatura media constante de la Universidad de Massachusetts, suele venir bastante por Granada y estará aquí del 12 de mayo al 30 de junio) encontró las ecuaciones explícitas de una banda de Möbius mínima en $\mathbb{R}^3$. Pero el método de construcción está basado en Análisis Complejo, por medio de una fórmula de representación de superficies mínimas en términos de una pareja de funciones holomorfas (Representación de Weierstrass). Hay una imagen en<br /><br />http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/Bjoerling/moebius/web/index.htmlJoaquín Pérezhttps://www.blogger.com/profile/13691539769864072678noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-6790144435793104008.post-40401117432690040902012-04-29T12:18:26.320+02:002012-04-29T12:18:26.320+02:00Buenas tardes. A raíz de lo que hice me surgieron ...Buenas tardes. A raíz de lo que hice me surgieron algunas dudas.<br /><br />1. Al representarlo con mathematica y tal "se ve" que la superficie que genero es una cinta de Möbius. Pero, ¿cómo puedo probar rigurosamente que dicho subconjunto de $\mathbb{R}^3$ tiene la topología de una banda de Möbius?<br /><br />A nosotros se nos definió la banda como un espacio topológico cociente, considerando cierta relación de equivalencia en $[0,1]^2$<br /><br />¿Cómo puedo probar que, efectivamente, el subconjunto que genera mi parametrización tiene la topología de una cinta de Möbius?<br /><br /><br />2. También, dándole vueltas a la cabeza, me gustaría que el método que sigo, cambiando algo, me diera una cinta de Möbius con propiedades interesantes. <br /><br />Por ejemplo, ¿puedo lograr en algún momento que mi cinta sea una superficie con alguna curvatura constante? ¿Puedo imponer desde un comienzo alguna de estas condiciones? Por ejemplo, imponer desde un principio curvatura de Gauss constante, o que sea una cinta de Möbius mínima.<br /><br />Un saludoJesús Antonio Bueno Linareshttps://www.blogger.com/profile/00656614422704856617noreply@blogger.com