lunes, 21 de noviembre de 2011

Novedades en la página web de la asignatura

En la página web de la asignatura podéis encontrar las soluciones de la relación de problemas del capítulo 1, sobre curvas planas y en el espacio. También hay un fichero pdf con representaciones gráficas de superficies que nos han salido en clase (y algunas más), hechas con Mathematica.

Por otro lado, los días 28 y 29 de noviembre no habrá clase, y tampoco los días 5 y 9 de diciembre. Dos de estas cuatro horas han sido ya recuperadas.

6 comentarios:

  1. Antes comentaba desde Google Chrome y se me acaba de ocurrir que puede ser problema del navegador.

    Voy a probar con internet explorer (muy a mi pesar)

    Funciona? Si es así intentaría descargarme otro navegador para poder publicar

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  2. Pues parece que sí, es cosa de Chrome. Comprendo lo que dices del Explorer, a mí me pasa lo mismo. Por eso yo uso Mozilla, y me va muy bien.

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  3. Buenos días. Tengo un par de dudas en unos ejercicios de la relación de superficies, por si me puede dar una pista o alguna indicación de cómo se hacen.

    En el ejercicio 15 me pide que demuestre que dados dos vectores propios asociados a valores propios distintos,estos son ortogonales. He pensado demostrar que uno de los vectores propios pertenece al plano tangente del otro. Pero no consigo llegar a nada. Seguramente sea mucho más fácil.

    En los ejercicios siguientes de superficies compactas y conexas.. Por ejemplo el primero, el 18, cómo consigo demostrar que si la superficie admite una función diferenciable con, a lo sumo, 3 puntos críticos entonces S es conexa? No sé plantearlo bien..

    Muchas gracias por la respuesta. Que pase una feliz navidad.

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  4. Hola Antonio, sobre esas dudas que planteas:

    Ejercicio 15: Dices "He pensado demostrar que uno de los vectores propios pertenece al plano tangente del otro". Supongo que te refieres al subespacio propio del otro, en este contexto no hay plano tangente. Te doy una pista: llama v,w a los vectores propios y a,b a los valores propios asociados (distintos). Calcula de dos formas distintas y las restas.

    Ejercicio 18: De nuevo pista; piensa cuántos puntos críticos debe admitir (al menos) una función definida sobre una superficie compacta, sea conexa o no. Y si la superficie de tu problema no fuera conexa, aplícalo a cada componente conexa: te saldrán al menos 4 puntos críticos, contradicción.

    Feliz año.

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  5. En una superficie compacta la aplicación de Gauss es sobreyectiva?

    En una superficie compacta y simplemente conexa la aplicación de Gauss es inyectiva?

    Tienen algo que ver estas cuestiones?

    En el supuesto caso de que sí, si una superficie es compacta y simplemente conexa, es difeomorfa a $\mathbb{S}^2$ ???

    Respecto a los ejercicios anteriores, gracias, ya me han salido. Era cuestión de echarles un vistazo.

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  6. Vamos por partes:
    1) Si S es una superficie compacta, entonces es orientable (Teorema de separación de Jordan-Brouwer) luego acota un dominio interior, $\Omega $. Sea $N\colon S\to \mathbb{S}^2$ una aplicación de Gauss de $S$, de las dos posibles. Dado $a\in \mathbb{S}^2$, considerando los puntos críticos de la función
    altura respecto a un plano ortogonal a $a$ se puede probar que existen puntos $p,q\in S$ tales que $N(p)=a$, $N(q)=-a$. Por tanto, $N$ es sobreyectiva.

    Sobre la segunda cuestión, la respuesta es NO: piensa en una esfera a la que aplastamos una parte, como una pelota deshinchada a la que apretamos con una tabla. Es posible conseguir deformar esa esfera hasta que una parte (no toda) sea un trozo de plano. Sobre ese subdominio de la esfera deformada, la aplicación de Gauss es constante, luego no inyectiva. Pero la esfera deformada sigue siendo simplemente conexa, ya que esta propiedad es invariante por homeomorfismos.

    Las dos cuestiones que plantean no tienen mucho que ver, a la luz de las respuestas. No obstante, si vamos más al fondo encontraremos relación entre ambas: si una superficie compacta tiene aplicación de Gauss localmente inyectiva (esto equivale a que su curvatura de Gauss sea una función positiva) entonces puede probarse que la aplicación de Gauss es una proyección recubridora (no definiremos esto en esta asignatura). Como $\mathbb{S}^2$ es simplemente conexa, concluímos que $N\colon S\to \mathbb{S}^2$ es un difeomorfismo, luego en particular $S$ también ha de ser simplemente conexa. Este tipo de superficies se llaman {\bf ovaloides.}

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