lunes, 24 de octubre de 2011

La ecuaciones de Frenet (y Serret)

Hemos visto en clase las ecuaciones de Frenet para una curva en el espacio. Este sistema lineal de 3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vectoriales con 3 incógnitas vectoriales (9 ecuaciones y 9 incógnitas escalares) fue descubierto por el matemático francés Jean Frédéric Frenet en su tesis doctoral, hacia 1847. De forma independiente, otro matemático francés, Joseph Alfred Serret, obtuvo las mismas ecuaciones en 1851. La ecuaciones de Frenet no sólo describen la variación del triedro asociado a una curva p.p.a., sino que también son la base de que la curvatura y la torsión determinen esencialmente a la curva, gracias a los teoremas clásicos de existencia y unicidad de problemas de valores iniciales asociados a un sistema de EDO.

Usa el desarrollo en serie de Taylor para probar que si $\alpha :I\to \mathbb{R}^3$ es una curva p.p.a. definida en un intervalo abierto que contiene a cero, entonces para $t$ suficientemente próximo a cero se tiene
\[
\alpha (t)=\alpha (0)+t\left( 1-\frac{\kappa(0)^2t^2}{6}\right) T(0)+t^2\left( \frac{\kappa(0)}{2}+\frac{\kappa'(0)t}{6}\right) N(0)-\frac{\kappa(0)\tau (0)t^3}{6}B(0)+\mathcal{O}(t^4),
\]
donde $\kappa, \tau $ son la curvatura y torsión de $\alpha $, $\{ T,N,B\} $ es su triedro de Frenet, y
$t\in I\mapsto \mathcal{O}(t^4)\in \mathbb{R}^3$ es una aplicación tal que
\[
\lim _{t\to 0}\frac{O(t^4)}{t^3}=0.
\]

2 comentarios:

  1. La curva $\alpha$ se desarrolla en serie de Taylor en un entorno de $0$ como:

    $\alpha(t)=\alpha(0)+\alpha'(0)t+\alpha''(0){t^2\over 2}+\alpha'''(0){t^3\over 6}+\mathcal{O}(t^4)$. Donde $\mathcal{O}(t^4)$ tiende a cero "mas rapido" que $t^3$ dado por el Teorema de Taylor.

    Se reescribe como:

    $\alpha(t)=\alpha(0)+ T(0)t+T'(0){t^2\over 2}+T''(0){t^3\over 6}+\mathcal{O}(t^4)$

    Ahora usamos las ecuaciones de Frenet y sustituimos. Para agilizar la escritura $T(0)\equiv T$ (igual con N y B)

    $\alpha^3=T''=\kappa'N+\kappa N'= \kappa'N+\kappa(-\kappa T-\tau B)=\kappa'N-\kappa^2T-\tau\kappa B$

    $\alpha(t)=\alpha(0)+ Tt + {\kappa N t^2\over2} + {(\kappa'N-\kappa^2T-\tau\kappa B)t^3\over 6}$

    Manipulando términos y sacando factor común de forma adecuada me queda:

    $\alpha'(t)=\alpha(0)+t(1-{\kappa^2 (0) t^2\over 6})T +t^2({\kappa (0)\over 2}+{\kappa'(0)t\over6})N-{\kappa\tau t^3\over 6}B+\mathcal{O}(t^4)$


    Como se puede ver, en el término de $t^2 N$ me "baila" un signo. A usted le sale "-" y a mí me sale "+". Dónde esta el fallo entonces?

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  2. Vaya, llevas razón. Gracias por apuntar el error. Ya está corregido en el enunciado de la entrada.

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