jueves, 27 de octubre de 2011

La cisoide de Diocles, la duplicación del cubo y el problema de Delian

A veces, una curva "clásica" lleva detrás una historia curiosa. Un buen ejemplo de esto es la cisoide de Diocles, una curva plana que se define de la siguiente forma:
Supongamos que tenemos una circunferencia $\mathbb{S}^1(C,a)$ de centro $C=(a,0)$ y radio $a>0$ en $\mathbb{R}^2$. Dado $\theta \in (-\pi/2,\pi /2)$, el rayo $R_{\theta }=\{ re^{i\theta }\ | \ r>0\} $ que parte del origen $O=(0,0)$ con ángulo polar $\theta $, corta a $\mathbb{S}^1(C,a)$ en un punto $M_1$ y a la recta $L=\{ x=2a\} $ en otro punto $M_2$. La cisoide de Diocles es la curva plana $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)\to  M (\theta )\in \mathbb{R}^2$ definida por la condición
\[
\| OM\| =\| M_1M_2\|.
\]
(en rojo en la siguiente figura)

  1. Prueba que en coordenadas polares, $M(\theta )$ viene dada por \[ M(\theta )=2a\, \sin \theta \tan \theta ^\, e^{i\theta }, \quad \theta \in (-\pi /2,\pi /2). \] ¿Es la cisoide una curva regular?
  2. Tras hacer el cambio de variable $t=\tan (\theta )$, demuestra que obtenemos la reparametrización \[ \alpha (t)=\left( \frac{2at^2}{1+t^2},\frac{2at^3}{1+t^2}\right),\quad t\in \mathbb{R}. \]
  3. Llamando $(x,y)$ a las coordenadas cartesianas de $\mathbb{R}^2$, prueba que la ecuación en implícitas de la cisoide de Diocles es \[ (x^2+y^2)x-2ay^2=0.\]  Por lo tanto, la cisoide es el conjunto de ceros del polinomio de orden tres $p(x,y)=(x^2+y^2)x-2ay^2$, es decir, es una curva algebraica de grado tres, o cúbica (recuerda que las cónicas en el plano viene dadas por ecuaciones de segundo grado en dos variables).
Y ahora, la historia 'curiosa' de la cisoide de Diocles: Según el historiador griego Plutarco, los habitantes de la ciudad griega de Atenas sufríeron una epidemia de peste allá por el 429 a.C. Como adoraban al dios Apolo y éste era patrón de la ciudad de Delfos, algunos atenienses fueron a Delfos a consultar a un oráculo de este dios griego sobre cómo podrían detener la epidemia. El oráculo les respondió que debían sustituir el altar a Apolo por otro del doble de volumen (desde luego, una respuesta de dudosa utilidad). El altar era cúbico, y los griegos eran muy aficionados a la geometría. Así que se planteó el dilema de cómo calcular el lado $u>0$ de un cubo de volumen doble de otro cubo dado, de lado $a>0$. Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Evidentemente, la ecuación a resolver era
\[

u^3=2a^3
\]
siendo $a$ conocido y $u$ incógnita. Nosotros sabemos despejar $u$ en esa ecuación, pero lo que los griegos querían no era despejarla sino construir el nuevo altar. Así que, sin saberlo, buscaban un método para construir $\sqrt[3]{2}$, sólo usando regla y compás. Desafortunadamente, este número irracional no es construíble con regla y compás, como demostró Pierre Wantzel ( ¡ en 1837 ! ), pero esto no lo sabían los griegos, por supuesto. Así que empezaron a investigar sobre el tema.

El primer avance significativo sobre este problema lo hizo el geómetra griego  Hipócrates de Quíos, que lo redujo al llamado problema de Delian: dados $a,b>0$, supongamos que podemos construir $u,v>0$ tales que
\[\mbox{(1)}\qquad \frac{u}{a}=\frac{v}{u}=\frac{b}{v}.
\]
Hipócrates de Quios se dio cuenta de si suponemos $u,v$ construídos cumpliendo (1), entonces
\[
u^3=a^3\left( \frac{u}{a}\right) ^3=a^3\frac{u}{a}\frac{v}{u}\frac{b}{v}
=a^3\frac{b}{a}=a^2b.
\]
Luego tomando $b=2a$ tendremos $u^3=2a^3$, y ya está nuestro cubo duplicado. Desde luego, no parece que hayamos avanzado mucho en nuestro intento de duplicar el cubo: ahora debemos resolver el problema de Delian dados $a,b$, pero... ¿cómo?


El geómetra (también griego, cómo no) Diocles estudió la cisoide en el siglo II a.C. (no sabemos si la descubrió él, pero lleva su nombre desde entonces) y la usó para resolver el problema de Delian y por tanto la duplicación del cubo. Es decir, si tenemos ya construída la cisoide, entonces Diocles dio un proceso basado en regla y compás para resolver el problema de Delian (por supuesto, de aquí podemos deducir que la cisoide no es construíble con regla y compás, o al menos no es posible construir todos sus puntos, porque cualquier cantidad finita de ellos sí que puede construírse por el procedimiento de arriba).

Veamos el método, muy ingenioso, dado por Diocles: Nos dan $a,b>0$, y queremos construir $u,v>0$ cumpliendo (1). Basta construir sólo $u>0$ tal que
\[
 \mbox{(2)}\qquad u^3=a^2b,
\]
porque definiendo $v=\frac{u^2}{a}$ (recordemos que el producto y cociente de números construíbles con regla y compás sigue siendo construíble) tendremos también construído $v$, y es fácil probar que estos $u,v$ resuelven el problema de Delian para $a,b$.

Así que nos toca construír $u>0$ tal que (2) se cumple, dados $a,b$. Para ello, Diocles partió de una cisoide como la que aparece arriba de la página. Llamamos $C=(a,0)$ al centro de la circunferencia de la figura de arriba, y $L_C=\{ x=a\} $ a la recta vertical que pasa por $C$. Llevamos la distancia $b$ sobre esta recta $L_C$, empezando en $C$ y en sentido ascendente. De esta forma producimos un punto $B=(a,b)$. Unimos $B$ con $A=(2a,0)$ y llamamos $P=(x,y)$ al punto de corte del segmento $AB$ con la cisoide. Ahora trazamos el segmento $OP$, que cortará a $L_C$ en un punto $U=(a,u)$ para cierto $u>0$.Y éste es el $u$ que buscamos: como los triángulos $OCU$ y $OP_0P$ son semejantes, el teorema de Thales (¡ otro griego !) nos dice que
\[
 \mbox{(3)}\qquad
\frac{u}{a}=\frac{\| CU\| }{\| OC\| }=\frac{\| P_0P\| }{\| OP_0\| }=\frac{y}{x}.
\]
Análogamente, la semejanza de los triángulos $APP_0$ y $ABC$ nos lleva a que
\[
 \mbox{(4)}\qquad
\frac{y}{2a-x}=\frac{\| PP_0\| }{\| P_0A\| }=\frac{\| BC\| }{\| CA\| }=\frac{b}{a}.
\]
Por tanto,
\[
\frac{u^3}{a^3}\stackrel{(3)}{=}\frac{y^3}{x^3}=y^2\frac{y}{x^3}\stackrel{(\star )}{=}\frac{x^3}{2a-x}
\frac{y}{x^3}=\frac{y}{2a-x}\stackrel{(4)}{=}\frac{b}{a},
\]
donde en ($\star $) hemos usado la ecuación en implícitas de la cisoide. De lo anterior deducimos que $u^3=a^2b$ como queríamos.

Para saber más sobre la cisoide de Diocles, puedes leer esto.

PD: Al escribir esta entrada se me viene a la cabeza que estos días estamos inundados por noticias sobre la posible condonación de parte de la deuda griega para con la Unión Europea; y digo yo, podríamos acordarnos un poco de todo lo que nos han dado los griegos en Ciencia, Filosofía y Arte a lo largo de su historia, a la hora de discutir sobre la conveniencia o no de ese perdón parcial de la deuda contraída... (sí, ya sé que el mundo real no se rige por estas consideraciones).

3 comentarios:

  1. Yo no puedo editar los comentarios que hacéis, sólo publicarlos o eliminarlos (es decir, moderar el blog). Así que es un poco complicado corregir detalles de lo que escribís, pero bueno. Cuando Jesús Antonio corrija los pequeños fallos que pongo abajo, eliminaré su comentario antiguo y en su lugar pondré el nuevo.

    1) Justo después de donde dice "Si pertenece a la circunferencia" hay tres ecuaciones ligadas por "si y sólo si". En la primera falta un cuadrado. La segunda no la entiendo, y la tercera es correcta (yo dejaría sólo la primera y la tercera).

    2) Donde dice "Por lo tanto $r_2(\theta )=2a\cos \theta $" debería decir "Por lo tanto $r_1(\theta )=2a\cos \theta $".

    3) MathJax no entiende el comando \sen. Se debe sustituir (2 veces) por \sin.

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  2. Sean $r_1(\theta), r_2(\theta)$ funciones definidas de $(-\pi/2, \pi/2)$ en $\mathbb{R}$ que dan el modulo de los complejos $M_1, M_2$ respectivamente.

    La expresion de $r_2(\theta)$ es facil de calcular. Gráficamente es la hipotenusa del triángulo de vertices $M_2$, el origen y $2a$. Dicha hipotenusa vale $2a{1 \over cos\theta}$

    Por otro lado $M_1$ es la intersección de la recta $R_\theta$ dada en el enunciado con la circunferencia. Para ello imponemos que $re^{i\theta}$ pertenezca a la circunferencia.

    $re^{i\theta}=r(cos\theta,sen\theta)$ Si pertenece a la circunferencia $||r(cos\theta,sen\theta)-(a,0)||^2=a^2\iff r((cos\theta-1)^2+sen^2\theta)=a\iff r^2-2ar\ cos\theta=0$

    Si $r=0$ nos da el origen. Por lo tanto supongamos que $r\neq 0$

    $r=2a\ cos\theta$

    Por lo tanto $r_1(\theta)=2a\ cos\theta$

    Por la forma de definir la cisoide el punto $M$ es el extremo del vector $\overrightarrow{M_1M_2}$.

    $M_1-M_2=2a(sec\theta-cos\theta)=2a\ tan\theta\ sen\theta$

    Por lo tanto el punto M, dependiendo de t, es:

    $M(\theta)=2a\ tan\theta\ sen\theta\ e^{i\theta}$\\ \\




    Para el segundo apartado basta reescribir la fórmula adecuadamente.

    $M(\theta)=2a\ tan\theta sen\theta(cos\theta+isen\theta)$

    Usamos que $sen\theta= tan\theta cos\theta$ En este paso hacemos ya el cambio de variable donde podamos

    $M(t)=2at^2cos^2\theta+i2at^3cos^2\theta$. Pero como $cos^2\theta={1\over 1+ tan^2\theta}$ reescribimos la cisoide como:

    $\alpha(t)={2at^2\over 1+t^2}+i{2at^3\over 1+t^2}$




    Para acabar con el tercer apartado

    Sea $x={2at^2\over 1+t^2},\ y=xt$

    Despejando en la primera ecuación tenemos que $t^2={x\over 2a-x}$. Si $t=y/x$ entonces sustituyendo e igualando queda:

    ${y^2\over x^2}={x\over 2a-x}\iff y^2(2a-x)=x^3\iff x(x^2+y^2-2ay^2=0$ que es lo que se nos pedía probar



    Lo dejo ya todo junto, espero que esté bien. No sabía eso de que MathJax no admitía esos comandos.
    Siento eso y las erratas producto de escribir en LaTeX rápido y, a veces, copiando y pegando.
    Intentaré tener más cuidado al respecto en el futuro

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  3. Todo perfecto. Sólo comentar que falta un paréntesis en la última ecuación, pero eso no tiene importancia. Sería
    $x(x^2+y^2)-2ay^2=0$.

    En cuanto a las erratas de LaTeX-MathJax, no te preocupes. Yo tengo la ventaja de poder compilar antes de publicar en el blog, pero también cometo fallos con comandos. Lo malo es que vosotros no podéis compilar en la página antes de publicar, y yo no puedo editar vuestros comentarios.

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