Algo más sobre la evoluta

En clase definimos la evoluta $e\colon I\to \mathbb{R}^2$ de una curva $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ p.p.a. y con curvatura positiva, y vimos que las dos propiedades siguientes se cumplen:

1. El vector tangente a la evoluta se anula exactamente en los puntos críticos de la curvatura de $\alpha $, es decir, en los vértices de $\alpha $ (ver esta entrada sobre vértices de una curva). Por ejemplo, la evoluta de una elipse deja de ser regular en 4 puntos.
2. La dirección de la recta tangente a la evoluta coincide con la dirección de la recta normal a la curva original. 

La propiedad 2 anterior se puede llevar un paso más allá: prueba que la recta afín tangente a la evoluta coincide con la recta afín normal a la curva original.

Prueba que la evoluta de la elipse $\alpha \colon [0,2\pi )\to \mathbb{R}^2$, $\alpha (t)=(a\, \cos t,b\, \sin t)$, viene dada por
\[
e(t)=\left( \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t, \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t\right) ,\quad t\in [0,2\pi ).
\]

Esta última curva se llama la astroide, y es otro ejemplo de curva algebraica clásica; está relacionada con la cardioide, con quien comparte algunos aspectos de su proceso de generación a partir de un círculo que gira sobre otro. Para más información sobre la astroide, lee esto.

Para terminar con la evoluta, hablaremos un poco sobre su proceso 'inverso': Si $\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2$ es una curva p.p.a. y $t_0\in I$, entonces la involuta de $\alpha $ respecto a $t_0$ es la curva $\beta \colon I\to \mathbb{R}^2$ dada por
\[
\beta(t)=\alpha (t)+(t_0-t)\alpha '(t),\quad t\in I.
\]
Prueba que $\beta $ es una curva diferenciable, pero no es regular (su regularidad falla en $t=t_0$ y en los puntos donde la curvatura de $\alpha $ se anula). Suponiendo que las curvaturas de $\alpha $ y $\beta $ son estrictamente positivas, prueba que la evoluta de $\beta $ es la curva $\alpha $. En este sentido, la evoluta y la involuta son procesos inversos.