Inversiones y geometría conforme

En clase hemos estudiado la inversión de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo respecto a la esfera unidad. Esta inversión puede hacerse respecto a cualquier esfera (¿podrías dar su forma explícita?), y generaliza en cierta forma la reflexión en un plano afín.

Esta idea de "unificar" esferas y planos, y por tanto reflexiones respecto a éstos, es la base de la geometría conforme. En geometría lineal (también llamada álgebra lineal), las transformaciones que permiten identificar objetos son los isomorfismos de espacios vectoriales. En geometría afín, son afinidades. En geometría métrica, son las isometrías. Así podemos seguir con topología (los homeomorfismos), geometría diferencial (los difeomorfismos) etc. En el caso de la geometría conforme,  no hacemos distinciones de objetos si entre ellos podemos establecer un  difeomorfismo que conserve ángulos (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos conformes). Un ejemplo de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo es una reflexión respecto a un plano, y otro de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo es la inversión respecto a una esfera centrada en el origen.

En dimensión 2, las aplicaciones conformes (que conservan ángulos) son exactamente las aplicaciones holomorfas (cuando conservan la orientación) y las antiholomorfas (cuendo la invierten). Y hay una enorme variedad de difeomorfismos conformes entre parejas de abiertos de $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$: de hecho, un teorema muy importante (debido a Riemann) dice que si $A$ es un abierto conexo y simplemente conexo de $\mathbb{C}$, entonces o bien $A=\mathbb{C}$ o existe un difeomorfismo conforme de $A$ en el disco unidad abierto $\{ z\in
\mathbb{C}\ : \ |z|<1\} $.

En dimensión $n\geq 3$, las cosas cambian drásticamente: otro teorema famoso, el teorema de Liouville, asegura que los únicos difeomorfismos conformes entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ son movimientos rígidos, homotecias, inversiones respecto de $(n-1)$-esferas, y composiciones de éstos. Esta "escasez" de difeomorfismos conformes en dimensión alta hace que un equivalente al teorema de Riemann en este caso es imposible: existen muchas parejas de abiertos simplemente conexos de $\mathbb{R}^3$ entre los que no es posible establecer un difeomorfismo conforme.