martes, 21 de febrero de 2012

Sobre el Teorema de Hilbert

En clase hemos visto el Teorema de Hilbert, una condición suficiente para que un punto de una superficie sea umbilical. ¿Es cierto el teorema si se suprime únicamente la hipótesis que involucra a la curvatura de Gauss? (es decir, si el punto no se supone elíptico)

5 comentarios:

  1. Hombre, en un principio la intuición diría que no se puede quitar así como así. Si se pudiese quitar, ¿por qué se enuncia de esa manera?.

    Sería una tontería imponer esa condición si después no se usa en la demostración del Teorema para nada, estaríamos restringiendo casos.

    Además, los Teoremas de Hilbert-Liebmann y de Jellet-Liebmann usan para su demostración las hipótesis del Teorema de Hilbert, y en todos los casos se usa que el punto es elíptico.

    Entonces yo creo que, únicamente con las hipótesis de extremos de las curvaturas.

    Pero claro, de lo que yo crea a lo que sea de verdad....

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    1. Ya, pero lo que estoy pidicendo es que me déis un contraejemplo. Es decir, una superficie con un punto no umbilical que cumpla toda las hipótesis del teorema de Hilbert menos la de ser elíptico.

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  2. Tanto ayer como hoy he estado intentado poner un comentario a esta entrada, pero siempre me ha dado error.. Funcionará ahora?

    Yo creo que la hipótesis no se puede suprimir así como así.

    Ayer comentaba que, de poder quitarse, ¿por qué el Teorema incluye dicha hipótesis? Me parece una tontería imponer una hipótesis que no se use para nada y que sea restrictiva, estamos excluyendo muchos casos.

    Lo de antes es más que nada intuición. También comentaba que en las demostraciones de los Teoremas de Hilbert-Liebmann y Jellet-Liebmann la hipótesis de que el punto sea elíptico es totalmente necesaria.

    Por último, en la clase de hoy se pone de manifiesto que la hipótesis es totalmente necesaria, ya que la demostración del Teorema concluye con un razonamiento en el que es necesario que el punto sea elíptico.

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    1. De acuerdo. Pero una cosa es que en la demostración se use y otra muy distinta es que la hipótesis sea necesaria para que el resultado sea cierto. Me explico: a veces se presentan resultados parciales a una conjetura, donde se suponen hipótesis adicionales porque son necesarias en la demostración. Pero eso no dice más que el método de demostración no es el "más fino posible", con el menor número de hipótesis posible. Esto ocurre mucho en investigación.

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  3. Después de escribir el último comentario me ha venido a la cabeza un ejemplo muy bueno para entender lo que escribí sobre hipótesis necesarias para dar un resultado parcial pero no necesarias para que una conjetura sea cierta: hemos visto en clase el Teorema de Jellet-Liebmann: "Si una superficie compacta y conexa tiene curvatura media constante y curvatura de Gauss positiva, entonces la superficie es una esfera". Este teorema es una respuesta parcial a la siguiente conjetura: ¿Es la esfera la única superficie compacta y conexa con curvatura media constante? Pues bien, esta última conjetura es cierta (Teorema de Alexandrov) pero su demostración es mucho más difícil si no imponemos la hipótesis adicional de tener curvatura de Gauss positiva. En clase sólo vimos el Teorema de Jellet-Liebmann porque su demostración es más sencilla que la del Teorema de Alexandrov.

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