domingo, 22 de enero de 2012

Ovaloides

Hemos visto en clase la interpretación de que un punto de una superficie sea elíptico o hiperbólico, en términos del comportamiento local de la superficie respecto al plano tangente afín en ese punto.

Una superficie $S\subset \mathbb{R}^3$ se dice un ovaloide si es compacta, conexa y todos sus puntos son elípticos, es decir su curvatura de Gauss es estrictamente positiva. Las esferas y los elipsoides son ejemplos de ovaloides. Prueba las siguientes propiedades de cualquier ovaloide $S$:
  1. La aplicación de Gauss $N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)$ es un difeomorfismo local. 
  2. $S$ es difeomorfo a una esfera.
Por ser sus puntos elípticos, un elipsoide tiene la propiedad de que siempre case a un lado del plano tangente afín en cualquiera de sus puntos. Esta idea de convexidad puede demostrarse rigurosamente, y forma parte del Teorema de Hadamard:

El dominio interior de un ovaloide $S$ es un abierto convexo de $\mathbb{R}^3$.

Podéis encontrar este teorema demostrado en el libro "Curvas y superficies" de Sebastián Montiel y Antonio Ros.

5 comentarios:

  1. Para el apartado uno se usa que, por ser compacta, su aplicación de Gauss es sobreyectiva.

    Por ser el punto elíptico la aplicación tiene que ser inyectiva (falta probarlo rigurosamente, pero no es complejo)

    Por lo tanto nuestra aplicación de Gauss es un difeomorfismo local. Pero sabemos que en toda superficie compacta y conexa un homeomorfismo local es homeomorfismo.

    Por lo tanto nuestro difeomorfismo local, que en particular es homeomorfismo local, pasa a ser un homeomorfismo.

    Por ser la derivabilidad una noción local, son difeomorfos

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    1. Antonio, veo algunos problemillas en tu razonamiento, aunque otras partes son válidas:

      "Para el apartado uno se usa que, por ser compacta, su aplicación de Gauss es sobreyectiva..." Esta propiedad es cierta, pero habría que demostrarla.

      "Por ser el punto elíptico la aplicación tiene que ser inyectiva..." si te refieres a la aplicación de Gauss $N$, su inyectividad no se deduce directamente de que los puntos sean elípticos. Piensa que la condición de que un punto sea elíptico es puramente local, y la inyectividad de $N$ es una propiedad global. Otra cosa sería usar que los puntos son elípticos para probar que $N$ es un difeomorfismo local: éste es el camino que hay que tomar, pero ¿cómo se demuestra eso?

      "Por lo tanto nuestra aplicación de Gauss es un difeomorfismo local. Pero sabemos que en toda superficie compacta y conexa un homeomorfismo local es homeomorfismo."
      Tal y como lo dices, la segunda frase es falsa: hace falta que la superficie de llegada sea homeomorfa a una esfera. En nuestro caso esta hipótesis extra se cumple, porque se lo estamos aplicando a $N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)$.

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    2. Antonio, veo algunos problemillas en tu razonamiento, aunque otras partes son válidas:

      "Para el apartado uno se usa que, por ser compacta, su aplicación de Gauss es sobreyectiva..." Esta propiedad es cierta, pero habría que demostrarla.

      "Por ser el punto elíptico la aplicación tiene que ser inyectiva..." si te refieres a la aplicación de Gauss $N$, su inyectividad no se deduce directamente de que los puntos sean elípticos. Piensa que la condición de que un punto sea elíptico es puramente local, y la inyectividad de $N$ es una propiedad global. Otra cosa sería usar que los puntos son elípticos para probar que $N$ es un difeomorfismo local: éste es el camino que hay que tomar, pero ¿cómo se demuestra eso?

      "Por lo tanto nuestra aplicación de Gauss es un difeomorfismo local. Pero sabemos que en toda superficie compacta y conexa un homeomorfismo local es homeomorfismo."
      Tal y como lo dices, la segunda frase es falsa: hace falta que la superficie de llegada sea homeomorfa a una esfera. En nuestro caso esta hipótesis extra se cumple, porque se lo estamos aplicando a $N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)$.

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  2. Sí, es verdad que me falta formalizar muchas cosas, lo hice ayer noche rápido...

    La aplicación de Gauss es sobreyectiva en cualquier superficie compacta. Si se toma cualquier vector $a$ de la esfera unidad entonces la función altura $h(p)=$ tiene un punto crítico,digamos $p_0$ por ser S compacta. Y sabemos que dicha función alcanza un punto crítico en $p_0$ sii $a$ es normal a S en $p_0$


    Sí, en todo momento me refería a que la inyectividad es una propiedad local, pero es verdad que no lo decía, fallo mío. Localmente, al ser un punto elíptico y quedarse totalmente a un lado del plano afín tangente a S en $p_0$, la aplicación es localmente inyectiva.

    Para el último apartado es verdad, también me faltaba comentar que se cumple esa condición esencial para que sea cierto.

    Inyectiva localmente y sobre $\Rightarrow$ Difeo local $\Rightarrow$ Homeo local y llega a $\mathbb{S}^2$ $\Rightarrow$ Homeo. De nuevo, como la derivabilidad es algo local nuestro Homeo se convierte en Difeo

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    1. Vale en casi todo. Tu primer párrafo necesita aún algún trabajo:

      "La aplicación de Gauss es sobreyectiva en cualquier superficie compacta. Si se toma cualquier vector a de la esfera unidad entonces la función altura h(p)=⟨p,a⟩ tiene un punto crítico, digamos p0∈S por ser S compacta. Y sabemos que dicha función alcanza un punto crítico en p0 sii a es normal a S en p0."

      Tu razonamiento necesita prefijar desde el principio la aplicación de Gauss N, de la cual se está probando la sobreyectividad. Dado a en la esfera unidad, la condición de punto crítico de h sólo dice que N(p0)=±a. ¿Cómo asegurar que puede elegirse p0 tal que N(p0)=a?

      En el último párrafo:
      "Inyectiva localmente y sobre ⇒ Difeo local"

      Para esto no se necesita sobre (la definición de difeo local es que la diferencial en cada punto sea un isomorfismo de espacios vectoriales, cosa asegurada porque para comprobar que N era localmente inyectiva el razonamiento fue que det(dNp)≠0 en todo punto).

      El resto, todo correcto.

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