Jacobiano de una aplicación entre superficies

Recordemos la fórmula de cambio de variable en integración, que permite transformar la integral de una función $h$ en un recinto $n$-dimensional $\phi (\Omega )\subset \mathbb{R}^n$ (aquí $\phi $ es un difeomorfismo entre abiertos de $\mathbb{R}^n$, cuyo dominio contiene a $\Omega $), con la integral sobre $\Omega $ de la composición de $h$ con la transformación $\phi $, corregida con un factor llamado Jacobiano de la transformación:
\[
\int _{\phi (\Omega )}h(x,y) \, dxdy=\int _{\Omega }(h\circ \phi )(u,v) \, |\mbox{Jac}\phi |(u,v)\, dudv.
\]
A continuación extenderemos el concepto de Jacobiano al contexto de superficies. Esto permite definir la integral de una función sobre un recinto en una superficie.


Sea $\phi \colon S_1\to S_2$ una aplicación diferenciable entre dos superficies. Se define el valor absoluto del Jacobiano de $\phi $ como la aplicación $|\mbox{Jac}\phi |\colon S_1\to \mathbb{R} $ dada por
\[
|\mbox{Jac}\phi |(p)=\left| \det \left( \langle d\phi _p(e_i),d\phi _p(e_j)\rangle \right) _{i,j=1,2}\right| ,
\]
donde $\{ e_1,e_2\} $ es una base ortonormal de $T_pS_1$.

1. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)$ no depende de la base ortonormal $\{ e_1,e_2\} $.
2. Demostrar que  $|\mbox{Jac}\phi |(p)=\| d\phi _p(e_1) \times d\phi _p(e_2)\| $ (producto vectorial).
3. Probar que $|\mbox{Jac}\phi |(p)\neq 0$ si y sólo si $d\phi _p$ es un isomorfismo de espacios vectoriales.
4. En el caso particular de que $\phi $ sea una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ de una superficie $S$, demostrar que \[ |\mbox{Jac}X|=\| X_u\times X_v\| =\sqrt{EG-F^2}. \]

La última fórmula  y la primera de esta entrada justifican la definición de la integral de una función $h\colon S\to \mathbb{R} $ sobre $X(U)$:
\[
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
\]
siempre que el miembro de la derecha anterior tenga sentido. Esta definición es el germen de la teoría de integración en superficies, que generaliza la integral del Análisis en recintos planos. En particular, la integral no depende del comportamiento en conjuntos de medida nula; esto, añadido a que toda superficie $S$ admite una parametrización $X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to S$ tal que $S-X(U)$ es de medida nula en $S$, permite usar la última fórmula para integrar sobre toda la superficie $S$.

La integración en superficies es una herramienta muy útil para estudiar geometría global, pero no la desarrollaremos en este curso: la asignatura optativa Geometría global de curvas y superficies se encargará de ello.