Hemos visto en clase el concepto de geodésica como la generalización natural de las rectas en la geometría plana. Para ello hemos usado una aproximación variacional, viendo las geodésicas como curvas parametrizadas proporcionalmente al arco que son puntos críticos de la longitud para todas las variaciones propias. Este punto de vista variacional fue, de hecho, el comienzo de la geometría diferencial allá por 1696 con Euler.
El concepto de geodésica es el más importante en geometría intrínseca, junto con la curvatura de Gauss. Y el hecho de que "ser geodésica" sea un concepto puramente intrínseco permite generalizarlo al caso de que la superficie sea abstracta, es decir, no tenemos porqué basarnos en cómo la superficie está situada en el espacio, siempre que conozcamos su primera forma fundamental. Además, el concepto de geodésica puede definirse en variedades Riemannianas (es decir, "superficies abstractas de dimensión arbitraria dotadas de una primera forma fundamental"), e incluso en variedades más generales como las semi-Riemannianas (aquellas donde la primera forma fundamental no tiene porqué ser definida positiva, sino sólo una métrica no degenerada). Aunque no veremos nada sobre estas últimas, vale la pena comentar que los modelos matemáticos de la Teoría de la Relatividad de Einstein son variedades semi-Riemannianas de dimensión 4, donde la métrica no degenerada tiene signatura $(+,+,+,-)$ (llamadas espacio-tiempos; las tres dimensiones asociadas al signo $+$ corresponden al espacio, y la dimensión asociada al signo $-$ corresponde al tiempo). La trayectoria que sigue una partícula en caída libre en un espacio-tiempo es una curva en esa variedad de dimensión 4, que resulta ser una geodésica.
Pero volvamos al caso más sencillo de geodésicas en superficies de $\mathbb{R}^3$. Siguiendo un análogo a lo que ocurría en la demostración del teorema egregium de Gauss, es natural esperar una caracterización de las geodésicas de una superficie sólo en términos de la primera forma fundamental. Y esta caracterización es la siguiente: supongamos que $X(u,v)$ es una parametrización de una superficie $S$, con símbolos de Christoffel $\Gamma _{ij}^k$, $i,j,k=1,2$ (recordemos que los símbolos de Christoffel podían calcularse sólo con los coeficientes $E,F,G$ de la primera forma fundamental). Sea $\gamma =\gamma (t)$ una curva parametrizada proporcionalmente al arco en $S$, cuya traza está contenida en la imagen de $X$ (esto no es restrictivo, ya que siempre puede hacerse localmente). Así, podemos escribir
\[
\gamma (t)=X(u_1(t),u_2(t)),
\]
donde $u_1(t),u_2(t)$ son funciones derivables. Probar que $\gamma $ es geodésica de $S$ si y sólo si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
\[
u_k''(t)+\sum _{i,j=1}^2(\Gamma _{ij}^k\circ \gamma )(t)u_i'(t) u_j'(t)=0,\quad k=1,2.
\]
Una primera consecuencia del sistema anterior es una demostración alternativa a la de clase de la propiedad de que por cada punto $p\in S$ y para cada vector $v\in T_pS$ pasa una única geodésica $\gamma $ con condiciones iniciales $\gamma (0)=p$, $\gamma '(0)=v$ (basta usar la existencia y unicidad de soluciones de un problema de valores iniciales asociado a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias).
viernes, 4 de mayo de 2012
domingo, 15 de abril de 2012
La banda de Möbius
Me envía Jesús Antonio Bueno Linares una entrada sobre la banda de Möbius, donde da una parametrización de la misma y prueba que no es orientable. No tengo nada que objetar, las cuentas son impecables; si acaso, he modificado un par de detalles sobre los comentarios. Así que las pongo aquí abajo, y animo a los demás a que aporten algo más que comentarios a mis entradas: SE ADMITEN ENTRADAS (aunque antes debéis mandármelas a mi por email para echarles un vistazo y subirlas al blog).
Parametrización de la banda de Möbius
Consideremos el segmento $S=\{ (0,0,t)\ : \ |t|<\varepsilon \}$ para un $\varepsilon>0 $ suficientemente pequeño (en la figura de abajo, $\varepsilon =0.3)$. La idea para parametrizar una cinta de Möbius es la siguiente:
Consideramos la circunferencia unidad en el plano $\{ z=0 \}$, parametrizada por $\alpha (\theta)=(\cos \theta,\sin \theta,0)$, $|\theta |<\pi$. Para cada $\theta$ giramos el segmento $S$ un ángulo de $\theta/2$ alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto $(1,0,0)$ y giramos ángulo $\theta$ ahora con eje de giro OZ.
Al recorrer $\theta$ todo el intervalo $(-\pi,\pi)$, el centro de nuestro segmento habrá recorrido toda la circunferencia $\alpha $, pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegará con la orientación cambiada respecto a la original con la que salió (se habrá girado un ángulo $\pi$). Por tanto, esta construcción nos proporciona una banda de Möbius. Ahora hacemos las cuentas:
La matriz del giro de $\theta/2$ respecto del eje OY, respecto de la base usual, es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\]
Rotamos el segmento $S$, obteniendo los puntos
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
t
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
t \sin(\theta/2)\\
0\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}\right) ,
\]
para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.
Ahora trasladamos este último segmento (cuyo centro es el origen $(0,0,0)$)
sumándole $(1,0,0)$, obteniendo $(1+t \sin(\theta/2),0,t \cos(\theta/2))$,
$|t|<\varepsilon $.
Por último, giramos el segmento que acabamos de obtener un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en $\theta \in (0,2\pi )$) y obtendremos una parametrización de nuestra banda de Möbius:
\[
X(t,\theta)=\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta&\sin\theta&0\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
1+t \sin(\theta/2)\\
0
\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
-\sin\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
\]
donde $(t,\theta)\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\times (-\pi,\pi)$. Como hemos dicho antes, tomamos $\varepsilon $ suficientemente pequeño como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gráfico producido con Mathematica muestra que $\varepsilon =0.3$ es válido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que $X$ esté definida en un abierto de $\mathbb{R}^2$ (necesario para que sea parametrización), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrización dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos $\Sigma $.
No orientabilidad de la banda de Möbius
Para ver que $\Sigma $ no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicación de Gauss $N:\Sigma\rightarrow\mathbb{S}^2$ (en particular, $N$ es de clase $C^\infty$). Comprobemos que $N$ no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo cálculos en la parametrización anterior,
\[
X_t(t,\theta )=(\cos \theta \sin (\theta/2),-\sin \theta\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))
\]
\[
X_\theta(0,\theta)=(-\sin \theta,-\cos \theta,0)
\]
luego el vector
\[
(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )=(\cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2))
\]
lleva la dirección normal a $\Sigma $ en $X(0,\theta )$. Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicación de Gauss en términos de $X_t\times X_{\theta }$ (que normaliza este último vector) no va a intervenir porque $\| X_t\times X_{\theta }\| $ siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos considerando. Ahora podemos calcular la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al salir por $\theta =0$ (calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 0^+$):
\[
\lim_{\theta\to 0^+}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right) =(1,0,0),
\]
mientras que la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al llegar por $\theta =2\pi $
(llegamos al mismo punto de $\Sigma $ que antes, pero ahora calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 2\pi ^-$) es:
\[
\lim_{\theta\to 2\pi^-}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right)
=(-1,0,0),
\]
Y aquí tenemos la contradicción, ya que de existir la aplicación de Gauss tendríamos el mismo límite lateral en los dos casos (sería el valor de la aplicación de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducción analítica del hecho de que al seguir continuamente una determinación del normal y darle una vuelta a la banda de Möbius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.
Parametrización de la banda de Möbius
Consideremos el segmento $S=\{ (0,0,t)\ : \ |t|<\varepsilon \}$ para un $\varepsilon>0 $ suficientemente pequeño (en la figura de abajo, $\varepsilon =0.3)$. La idea para parametrizar una cinta de Möbius es la siguiente:
Consideramos la circunferencia unidad en el plano $\{ z=0 \}$, parametrizada por $\alpha (\theta)=(\cos \theta,\sin \theta,0)$, $|\theta |<\pi$. Para cada $\theta$ giramos el segmento $S$ un ángulo de $\theta/2$ alrededor del eje OY. Una vez girado, trasladamos el segmento obtenido hasta que su centro sea el punto $(1,0,0)$ y giramos ángulo $\theta$ ahora con eje de giro OZ.
Al recorrer $\theta$ todo el intervalo $(-\pi,\pi)$, el centro de nuestro segmento habrá recorrido toda la circunferencia $\alpha $, pero cuando llegue de nuevo al comienzo, llegará con la orientación cambiada respecto a la original con la que salió (se habrá girado un ángulo $\pi$). Por tanto, esta construcción nos proporciona una banda de Möbius. Ahora hacemos las cuentas:
La matriz del giro de $\theta/2$ respecto del eje OY, respecto de la base usual, es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\]
Rotamos el segmento $S$, obteniendo los puntos
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\cos (\theta/2)&0&\sin(\theta/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\theta/2)&0&\cos(\theta/2)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
t
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
t \sin(\theta/2)\\
0\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}\right) ,
\]
para todo $t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$.
Ahora trasladamos este último segmento (cuyo centro es el origen $(0,0,0)$)
sumándole $(1,0,0)$, obteniendo $(1+t \sin(\theta/2),0,t \cos(\theta/2))$,
$|t|<\varepsilon $.
Por último, giramos el segmento que acabamos de obtener un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ, para lo cual multiplicamos por la matriz de dicho giro (parametrizado en $\theta \in (0,2\pi )$) y obtendremos una parametrización de nuestra banda de Möbius:
\[
X(t,\theta)=\left( \begin{array}{ccc}
\cos\theta&\sin\theta&0\\
-\sin\theta&\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{c}
1+t \sin(\theta/2)\\
0
\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
-\sin\theta(1+t \sin(\theta/2))\\
t \cos(\theta/2)
\end{array}
\right)
\]
donde $(t,\theta)\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\times (-\pi,\pi)$. Como hemos dicho antes, tomamos $\varepsilon $ suficientemente pequeño como para que en el proceso anterior no se produzcan autointersecciones: el siguiente gráfico producido con Mathematica muestra que $\varepsilon =0.3$ es válido para esto. El que hayamos tomado este producto de intervalos hace que $X$ esté definida en un abierto de $\mathbb{R}^2$ (necesario para que sea parametrización), pero obliga a que usemos dos parametrizaciones distintas para cubrir la banda completa (con una sola parametrización dejamos de cubrir uno de los segmentos), a la que llamaremos $\Sigma $.
No orientabilidad de la banda de Möbius
Para ver que $\Sigma $ no es orientable, vamos a proceder de la siguiente manera. Supongamos que tenemos definida globalmente una aplicación de Gauss $N:\Sigma\rightarrow\mathbb{S}^2$ (en particular, $N$ es de clase $C^\infty$). Comprobemos que $N$ no puede existir de forma ni siquiera continua. Haciendo cálculos en la parametrización anterior,
\[
X_t(t,\theta )=(\cos \theta \sin (\theta/2),-\sin \theta\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))
\]
\[
X_\theta(0,\theta)=(-\sin \theta,-\cos \theta,0)
\]
luego el vector
\[
(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )=(\cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2))
\]
lleva la dirección normal a $\Sigma $ en $X(0,\theta )$. Notemos que en nuestro razonamiento, el denominador de la aplicación de Gauss en términos de $X_t\times X_{\theta }$ (que normaliza este último vector) no va a intervenir porque $\| X_t\times X_{\theta }\| $ siempre es positivo, luego no afecta al sentido del vector que estamos considerando. Ahora podemos calcular la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al salir por $\theta =0$ (calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 0^+$):
\[
\lim_{\theta\to 0^+}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right) =(1,0,0),
\]
mientras que la dirección de $(X_t\times X_{\theta })(0,\theta )$ al llegar por $\theta =2\pi $
(llegamos al mismo punto de $\Sigma $ que antes, pero ahora calculamos el límite lateral cuando $\theta \to 2\pi ^-$) es:
\[
\lim_{\theta\to 2\pi^-}\left( \cos \theta\cos(\theta/2),-\sin \theta\cos(\theta/2),-\sin(\theta/2)\right)
=(-1,0,0),
\]
Y aquí tenemos la contradicción, ya que de existir la aplicación de Gauss tendríamos el mismo límite lateral en los dos casos (sería el valor de la aplicación de Gauss en ambos casos, ya que ambos son unitarios). Esto es la traducción analítica del hecho de que al seguir continuamente una determinación del normal y darle una vuelta a la banda de Möbius llegamos al valor opuesto del que comenzamos teniendo.
miércoles, 28 de marzo de 2012
Gauss
Hemos visto en clase una primera idea, no demasiado precisa, de qué diferencia la geometría intrínseca de la extrínseca: sólo tener en cuenta la primera forma fundamental (equivalentemente, longitudes de curvas o áreas de recintos en una superficie) frente a tener en cuenta cómo la superficie se curva en el espacio (segunda forma fundamental).
El ejemplo más importante de resultado de geometría intrínseca es el Teorema Egregium de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1825), que viene a decir que si deformamos una superficie preservando las distancias entre sus puntos, entonces conservaremos la curvatura de Gauss. En particular, sólo podrán trazarse mapas planos sin distorsiones de superficies llanas, pero no de la tierra, ni siquiera de un trozo muy pequeño de ésta.
Este resultado de Gauss es sólo uno de tantos que dejó en matemáticas. No es casualidad que se la haya llamado el "Príncipe de las Matemáticas", y que se le considere el mayor matemático desde los tiempos de Euclides. Quizás nadie haya influido como él en el desarrollo posterior de las matemáticas, a las que el propio Gauss llamaba "la reina de las ciencias".
Gauss nació en un pueblo de la Baja Sajonia (Alemania), en una familia humilde. Su madre era analfabeta, y no llegó a anotar la fecha de nacimiento de Gauss ni a tener documento alguno de ello. Pero sí era bastante religiosa, y recordaba que dio a luz a su hijo Carl un miércoles, ocho días antes de la fiesta de la Ascención. El propio Gauss resolvió el problema de calcular su fecha de nacimiento, ideando un método para calcular fechas pasadas y futuras (calendario perpetuo).
Ni que decir tiene que Gauss fue un niño prodigio, y hay varias historias alrededor (aunque no sabemos muy bien cuáles son ciertas). Se dice que con tres años corrigió mentalmente y sin error en sus cálculos a su padre, mientras éste hacía un cálculo de sus finanzas. Otra historia famosa cuenta que en la escuela primaria y como castigo por haberse portado mal, su maestro JG Büttner, le impuso a Gauss la siguiente tarea: suma la lista de números naturales del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en cuestión de segundos, ante el asombro de su maestro y sus ayudantes (se cree que Gauss usó para ello el siguiente razonamiento: si sumamos pares de términos de la serie, empezando por extremos opuestos de la lista, producirán siempre la misma suma parcial: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, por lo que en total tenemos 50 × 101 = 5050).
Estas y otras historias llamaron la atención del Duque de Braunschweig, que le financió sus estudios desde los 15 hasta los 21 años. Sus mejores trabajos en teoría de numeros, que han modelado esta disciplina hasta hoy, están en el libro Disquisitiones Arithmeticae, que escribió cuando tenía 21 años, recién acabados sus estudios en la Universidad de Gottingen. En este campo, podemos citar (aunque quizás no sea el más importante de sus descubrimientos) un resultado que llevó a una anécdota: Gauss probó que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat $2^{2^n}+1$, es constructible con regla y compás (la constructibilidad de polígonos era un problema abordado desde los antiguos griegos). Tan orgulloso estaba Gauss de este descubrimiento que quiso que su tumba tuviera grabado un polígono regular de $17=2^{2^2}+1$ lados. Sin embargo, el encargado de esculpir la lápida se negó a hacerlo porque este polígono se parece demasiado a una circunferencia como para poder diferenciarlos en la lápida.
Mucho más importante es el Teorema Fundamental del Algebra, también debido a Gauss (aunque en su demostración original, Gauss usaba implícitamente el Teorema de la curva de Jordan, que no había sido rigurosamente demostrado aún). No obstante, Gauss ideó otras tres demostraciones de este importante resultado posteriormente.
Otro campo en el que hizo importantes descubrimientos fue la astronomía. En 1801, el astrónomo italiano Piazzi decubrió el asteroide Ceres. Piazzi lo siguió con su telescopio durante 3 meses, hasta que su trayectoria fue ocultada por la del Sol. Según los cálculos de Piazzi, cuando el asteroide debió reaparecer no lo hizo, lo que mostraba algún fallo en los cálculos de su trayectoria. Y es que los datos obtenidos por Piazzi y las matemáticas desarrolladas en aquella época no eran suficientes para trazar la trayectoria del asteroide. Gauss se interesó por el problema, y en 3 meses de trabajo predijo la posición del asteroide mediante un novedoso método para determinar una cónica en el espacio, teniendo como datos un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (tres líneas de visión desde la Tierra), de las que se sabe los tiempos en que se han determinado (a partir de este dato se podían calcular las longitudes de los arcos de cónica correspondientes, por la ley de Kepler). Este método produce una ecuación de grado 8, que Gauss pudo resolver. Este problema y su solución llevó a Gauss a interesarse por el movimiento de los cuerpos celestes, lo que a la larga le supuso ser nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio astronómico de Gottingen. Durante sus investigaciones en este campo introdujo la constante gravitacional de Gauss, descubrió el método de los mínimos cuadrados para minimizar el error en las interpolaciones necesarias en Astronomía, introdujo la distribución Gaussiana (campana de Gauss), entre otros.
En Geometría, y además del Teorema Egregium, Gauss afirmó haber descubierto geometrías no Euclídeas pero nunca publicó este descubrimiento, que fue finalmente publicado por Bolyai. Es curiosa una carta que Gauss escribió a Bolyai: "Alabar sus descubrimientos equivaldría a elogiarme a mí mismo. Todo el contenido de su obra ... coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años". Otro hecho resaltable es que Gauss asistió a la famosa habilitación de Riemann donde este último sentó las bases de la Geometría Riemanniana actual. Cuenta el físico Weber, amigo de Gauss, que éste, de camino a casa, le dijo emocionado que lo que había explicado Riemann cambiaría la geometría en lo sucesivo, y así fue.
En Física, Gauss hizo importantes descubrimientos en electromagnetismo. A él se deben las llamadas Leyes de Kirchoff, el telégrafo electromecánico, y métodos prácticos de cálculo de la intensidad del campo elctromagnético terrestre (que han estado en uso hasta bien avanzado el siglo XX). También trabajó en óptica: estudió las leyes de paralaje y formuló las leyes que gobiernan las lentes.
En fin, aunque algunas de estas curiosidades no esté contrastada, no hay duda de que Gauss se encuentra entre los tres mejores matemáticos de la historia, junto a Euclides y Newton. El famoso viajero Alexander von Humboldt preguntó a Laplace: "¿Quién es el mayor matemático de Alemania?" a lo que Lapace respondió "Pfaff" (famoso por estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico). Asombrado, von Humboldt replicó: "¿Y qué me dice de Gauss?" La respuesta de de Laplace fue: "Oh, Gauss es el mayor matemático del mundo".
Como última anécdota (algo macabra), incluiremos que tras su muerte, el cerebro de Gauss fue preservado y estudiado, y que se encontraron profundos surcos en su materia gris, lo que a principios del siglo XX se interpretó como una explicación de su genio sin igual.
El ejemplo más importante de resultado de geometría intrínseca es el Teorema Egregium de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1825), que viene a decir que si deformamos una superficie preservando las distancias entre sus puntos, entonces conservaremos la curvatura de Gauss. En particular, sólo podrán trazarse mapas planos sin distorsiones de superficies llanas, pero no de la tierra, ni siquiera de un trozo muy pequeño de ésta.
Este resultado de Gauss es sólo uno de tantos que dejó en matemáticas. No es casualidad que se la haya llamado el "Príncipe de las Matemáticas", y que se le considere el mayor matemático desde los tiempos de Euclides. Quizás nadie haya influido como él en el desarrollo posterior de las matemáticas, a las que el propio Gauss llamaba "la reina de las ciencias".
Gauss nació en un pueblo de la Baja Sajonia (Alemania), en una familia humilde. Su madre era analfabeta, y no llegó a anotar la fecha de nacimiento de Gauss ni a tener documento alguno de ello. Pero sí era bastante religiosa, y recordaba que dio a luz a su hijo Carl un miércoles, ocho días antes de la fiesta de la Ascención. El propio Gauss resolvió el problema de calcular su fecha de nacimiento, ideando un método para calcular fechas pasadas y futuras (calendario perpetuo).
Ni que decir tiene que Gauss fue un niño prodigio, y hay varias historias alrededor (aunque no sabemos muy bien cuáles son ciertas). Se dice que con tres años corrigió mentalmente y sin error en sus cálculos a su padre, mientras éste hacía un cálculo de sus finanzas. Otra historia famosa cuenta que en la escuela primaria y como castigo por haberse portado mal, su maestro JG Büttner, le impuso a Gauss la siguiente tarea: suma la lista de números naturales del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en cuestión de segundos, ante el asombro de su maestro y sus ayudantes (se cree que Gauss usó para ello el siguiente razonamiento: si sumamos pares de términos de la serie, empezando por extremos opuestos de la lista, producirán siempre la misma suma parcial: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, por lo que en total tenemos 50 × 101 = 5050).
Estas y otras historias llamaron la atención del Duque de Braunschweig, que le financió sus estudios desde los 15 hasta los 21 años. Sus mejores trabajos en teoría de numeros, que han modelado esta disciplina hasta hoy, están en el libro Disquisitiones Arithmeticae, que escribió cuando tenía 21 años, recién acabados sus estudios en la Universidad de Gottingen. En este campo, podemos citar (aunque quizás no sea el más importante de sus descubrimientos) un resultado que llevó a una anécdota: Gauss probó que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat $2^{2^n}+1$, es constructible con regla y compás (la constructibilidad de polígonos era un problema abordado desde los antiguos griegos). Tan orgulloso estaba Gauss de este descubrimiento que quiso que su tumba tuviera grabado un polígono regular de $17=2^{2^2}+1$ lados. Sin embargo, el encargado de esculpir la lápida se negó a hacerlo porque este polígono se parece demasiado a una circunferencia como para poder diferenciarlos en la lápida.
Mucho más importante es el Teorema Fundamental del Algebra, también debido a Gauss (aunque en su demostración original, Gauss usaba implícitamente el Teorema de la curva de Jordan, que no había sido rigurosamente demostrado aún). No obstante, Gauss ideó otras tres demostraciones de este importante resultado posteriormente.
Otro campo en el que hizo importantes descubrimientos fue la astronomía. En 1801, el astrónomo italiano Piazzi decubrió el asteroide Ceres. Piazzi lo siguió con su telescopio durante 3 meses, hasta que su trayectoria fue ocultada por la del Sol. Según los cálculos de Piazzi, cuando el asteroide debió reaparecer no lo hizo, lo que mostraba algún fallo en los cálculos de su trayectoria. Y es que los datos obtenidos por Piazzi y las matemáticas desarrolladas en aquella época no eran suficientes para trazar la trayectoria del asteroide. Gauss se interesó por el problema, y en 3 meses de trabajo predijo la posición del asteroide mediante un novedoso método para determinar una cónica en el espacio, teniendo como datos un foco (el Sol) y la intersección de la cónica con tres líneas dadas (tres líneas de visión desde la Tierra), de las que se sabe los tiempos en que se han determinado (a partir de este dato se podían calcular las longitudes de los arcos de cónica correspondientes, por la ley de Kepler). Este método produce una ecuación de grado 8, que Gauss pudo resolver. Este problema y su solución llevó a Gauss a interesarse por el movimiento de los cuerpos celestes, lo que a la larga le supuso ser nombrado profesor de Astronomía y director del observatorio astronómico de Gottingen. Durante sus investigaciones en este campo introdujo la constante gravitacional de Gauss, descubrió el método de los mínimos cuadrados para minimizar el error en las interpolaciones necesarias en Astronomía, introdujo la distribución Gaussiana (campana de Gauss), entre otros.
En Geometría, y además del Teorema Egregium, Gauss afirmó haber descubierto geometrías no Euclídeas pero nunca publicó este descubrimiento, que fue finalmente publicado por Bolyai. Es curiosa una carta que Gauss escribió a Bolyai: "Alabar sus descubrimientos equivaldría a elogiarme a mí mismo. Todo el contenido de su obra ... coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años". Otro hecho resaltable es que Gauss asistió a la famosa habilitación de Riemann donde este último sentó las bases de la Geometría Riemanniana actual. Cuenta el físico Weber, amigo de Gauss, que éste, de camino a casa, le dijo emocionado que lo que había explicado Riemann cambiaría la geometría en lo sucesivo, y así fue.
En Física, Gauss hizo importantes descubrimientos en electromagnetismo. A él se deben las llamadas Leyes de Kirchoff, el telégrafo electromecánico, y métodos prácticos de cálculo de la intensidad del campo elctromagnético terrestre (que han estado en uso hasta bien avanzado el siglo XX). También trabajó en óptica: estudió las leyes de paralaje y formuló las leyes que gobiernan las lentes.
En fin, aunque algunas de estas curiosidades no esté contrastada, no hay duda de que Gauss se encuentra entre los tres mejores matemáticos de la historia, junto a Euclides y Newton. El famoso viajero Alexander von Humboldt preguntó a Laplace: "¿Quién es el mayor matemático de Alemania?" a lo que Lapace respondió "Pfaff" (famoso por estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico). Asombrado, von Humboldt replicó: "¿Y qué me dice de Gauss?" La respuesta de de Laplace fue: "Oh, Gauss es el mayor matemático del mundo".
Como última anécdota (algo macabra), incluiremos que tras su muerte, el cerebro de Gauss fue preservado y estudiado, y que se encontraron profundos surcos en su materia gris, lo que a principios del siglo XX se interpretó como una explicación de su genio sin igual.
lunes, 26 de marzo de 2012
Prácticas de ordenador para el segundo cuatrimestre
Os pongo abajo la información correspondiente a prácticas de ordenador de Geometría de Curvas y Superficies, del segundo cuatrimestre. Resalto que la primera práctica es MAÑANA.
Práctica 4: Curvaturas de una superficie
Día: 27 de marzo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6
Práctica 5: Geometría intrínseca de superficies
Día: 22 de mayo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6
Práctica 4: Curvaturas de una superficie
Día: 27 de marzo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6
Práctica 5: Geometría intrínseca de superficies
Día: 22 de mayo de 2012
Grupo A: 16-18
Grupo B: 18-20
Aulas: O5 y O6
domingo, 25 de marzo de 2012
Novedades en la página de la asignatura
Ya están disponibles en la página de la asignatura las soluciones de los problemas del capítulo 3 y la teoría del capítulo 4, que empezaremos a ver mañana o pasado.
jueves, 8 de marzo de 2012
Inversiones y geometría conforme
En clase hemos estudiado la inversión de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo respecto a la esfera unidad. Esta inversión puede hacerse respecto a cualquier esfera (¿podrías dar su forma explícita?), y generaliza en cierta forma la reflexión en un plano afín.
Esta idea de "unificar" esferas y planos, y por tanto reflexiones respecto a éstos, es la base de la geometría conforme. En geometría lineal (también llamada álgebra lineal), las transformaciones que permiten identificar objetos son los isomorfismos de espacios vectoriales. En geometría afín, son afinidades. En geometría métrica, son las isometrías. Así podemos seguir con topología (los homeomorfismos), geometría diferencial (los difeomorfismos) etc. En el caso de la geometría conforme, no hacemos distinciones de objetos si entre ellos podemos establecer un difeomorfismo que conserve ángulos (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos conformes). Un ejemplo de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo es una reflexión respecto a un plano, y otro de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo es la inversión respecto a una esfera centrada en el origen.
En dimensión 2, las aplicaciones conformes (que conservan ángulos) son exactamente las aplicaciones holomorfas (cuando conservan la orientación) y las antiholomorfas (cuendo la invierten). Y hay una enorme variedad de difeomorfismos conformes entre parejas de abiertos de $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$: de hecho, un teorema muy importante (debido a Riemann) dice que si $A$ es un abierto conexo y simplemente conexo de $\mathbb{C}$, entonces o bien $A=\mathbb{C}$ o existe un difeomorfismo conforme de $A$ en el disco unidad abierto $\{ z\in
\mathbb{C}\ : \ |z|<1\} $.
En dimensión $n\geq 3$, las cosas cambian drásticamente: otro teorema famoso, el teorema de Liouville, asegura que los únicos difeomorfismos conformes entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ son movimientos rígidos, homotecias, inversiones respecto de $(n-1)$-esferas, y composiciones de éstos. Esta "escasez" de difeomorfismos conformes en dimensión alta hace que un equivalente al teorema de Riemann en este caso es imposible: existen muchas parejas de abiertos simplemente conexos de $\mathbb{R}^3$ entre los que no es posible establecer un difeomorfismo conforme.
Esta idea de "unificar" esferas y planos, y por tanto reflexiones respecto a éstos, es la base de la geometría conforme. En geometría lineal (también llamada álgebra lineal), las transformaciones que permiten identificar objetos son los isomorfismos de espacios vectoriales. En geometría afín, son afinidades. En geometría métrica, son las isometrías. Así podemos seguir con topología (los homeomorfismos), geometría diferencial (los difeomorfismos) etc. En el caso de la geometría conforme, no hacemos distinciones de objetos si entre ellos podemos establecer un difeomorfismo que conserve ángulos (estas aplicaciones se llaman difeomorfismos conformes). Un ejemplo de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3$ en sí mismo es una reflexión respecto a un plano, y otro de difeomorfismo conforme de $\mathbb{R}^3-\{ \vec{0}\} $ en sí mismo es la inversión respecto a una esfera centrada en el origen.
En dimensión 2, las aplicaciones conformes (que conservan ángulos) son exactamente las aplicaciones holomorfas (cuando conservan la orientación) y las antiholomorfas (cuendo la invierten). Y hay una enorme variedad de difeomorfismos conformes entre parejas de abiertos de $\mathbb{C}\equiv \mathbb{R}^2$: de hecho, un teorema muy importante (debido a Riemann) dice que si $A$ es un abierto conexo y simplemente conexo de $\mathbb{C}$, entonces o bien $A=\mathbb{C}$ o existe un difeomorfismo conforme de $A$ en el disco unidad abierto $\{ z\in
\mathbb{C}\ : \ |z|<1\} $.
En dimensión $n\geq 3$, las cosas cambian drásticamente: otro teorema famoso, el teorema de Liouville, asegura que los únicos difeomorfismos conformes entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ son movimientos rígidos, homotecias, inversiones respecto de $(n-1)$-esferas, y composiciones de éstos. Esta "escasez" de difeomorfismos conformes en dimensión alta hace que un equivalente al teorema de Riemann en este caso es imposible: existen muchas parejas de abiertos simplemente conexos de $\mathbb{R}^3$ entre los que no es posible establecer un difeomorfismo conforme.
Dimensions
Esta mañana ha salido en clase los videos de Étienne
Ghys "Dimensions". Realmente vale la pena echarles un vistazo. Os dejo el enlace a la versión en español, aquí. Tenéis que hacer click en la línea inferior, en "Español". Que los disfrutéis.
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